Zinseszinsrechnung
Bei der Zinseszinsrechnung werden die Zinsen am Ende der Zinsperiode dem Kapital einmalig zugeschlagen, sodass sie in der darauffolgenden Zinsperiode mit verzinst werden. Der Aufzinsungsfaktor q gibt an, um welchen Faktor ein Kapital innerhalb einer Zinsperiode bei einem Zins von p anwächst.
| K0 |
Anfangskapital in € |
| Kn |
Endkapital in € |
| n |
Laufzeit in Jahren |
| p |
Zinssatz in % |
| i |
Jährliche Zinssatz, dimensionslose Dezimalzahl |
| q=1+i |
Aufzinsungsfaktor, dimensionslos |
Aufzinsungsfaktor
\(q = 1 + i\)
mit \(i = \dfrac{p}{{100\% }}{\rm{ und }}\left[ i \right] = \left[ q \right] = 1\)
Bei einer n-jährigen Veranlagung mit Zinseszins beträgt der Aufzinsungsfaktor qn.
Beispiel:
\({\text{p = 5% }} \to {\text{i = 0}}{\text{,05}} \to {\text{q = 1}}{\text{,05}}\)
Endkapital Kn gesucht
→ Die Aufzinsung gemäß der leibnizschen Zinseszinsformel dient zur Beantwortung der Fragestellung, welches Endkapital Kn man erhalten wird, wenn man das Anfangskapital K0 bei einem Zins von p% für n Jahren anlegt.
\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^n} = {K_0} \cdot {q^n}\)
Beispiel:
\(\eqalign{ & {K_0} = 12.500€ \,\,\,...\,\,\,{\text{Anfangskapital}} \cr & p = 2,75\% \,\,\,...\,\,\,{\text{Zins in % }} \cr & n = 1{\text{ Jahr und 9 Monate = }}\dfrac{{21}}{{12}}{\text{ Laufzeit in Jahren}} \cr & {{\text{K}}_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^n} \cr & {K_{\dfrac{{21}}{{12}}}} = 12.500 \cdot {\left( {1 + \dfrac{{2,75}}{{100}}} \right)^{\dfrac{{21}}{{12}}}} = 13.107,75€ \cr} \)
Anfangskapital K0 gesucht
→ Die Diskontierung gemäß der leibnizschen Zinseszinsformel dient zur Beantwortung der Fragestellung welches Kapital K0 man anlegen muss, um bei einem Zinssatz von p% nach n Jahren über das Endkapital von Kn zu verfügen.
\({K_0} = \dfrac{{{K_n}}}{{{q^n}}} = \dfrac{{{K_n}}}{{{{\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)}^n}}}\)
Beispiel:
\(\eqalign{ & {K_n} = 742€ {\text{ }}...{\text{ Endkapital}} \cr & p = 3\% {\text{ }}...{\text{ Zins in % }} \cr & n = 5{\text{ Jahre }}...{\text{ Laufzeit}} \cr & {{\text{K}}_0} = \dfrac{{{K_n}}}{{{q^n}}} \cr & p = 3\% \to i = 0,03 \to q = 1,03 \cr & {K_0} = \dfrac{{742}}{{{{1,03}^5}}} = 640,05€ \cr} \)
Laufzeit n gesucht
→ Dient zur Beantwortung der Fragestellung für wie viele Jahre n man ein Anfangskapital K0 bei einem Zins von p% veranlagen muss, damit man das Endkapital Kn erhält.
\(n = \dfrac{{\log \dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}}}{{\log q}} = \dfrac{{\log \dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}}}{{\log \left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)}}\)
Zins p in % gesucht
→ Dient zur Beantwortung der Fragestellung, welcher Zins erwirtschaftet werden muss, damit nach n Jahren aus dem Anfangskapital K0 das Endkapital Kn wird.
\(p = \left( {\root n \of {\dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}} - 1} \right) \cdot 100\)
Unterjährige Verzinsung
Bei der unterjährigen Verzinsung ist die Anlagedauer ein ganzzahliges Vielfaches einer Verzinsungsperiode. Die Zinsen werden dabei mehrmals pro Jahr dem Kapital zugeschlagen, z.B. Verzinsungsperiode = vierteljährig → Zinsen werden an jedem Quartalsende dem Kapital zugeschlagen
\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}}} \right)^{m \cdot n}}\)
\({p_m} = \dfrac{p}{m}\)
| pm |
unterjähriger Zinssatz |
| m |
Anzahl der Zinsperioden pro Jahr |
| n |
Anzahl der Veranlagungsjahre |
Beispiel:
\(\eqalign{ & n = 1{\text{ }}...{\text{ Laufzeit ist 1 Jahr}} \cr & {{\text{K}}_0} = 100€ \cr & {p_{nom}} = 12\% {\text{ }}...{\text{ nomineller Jahreszinssatz}} \cr & m = 4{\text{ }}...{\text{ Quartalsweise Verzinsung}} \cr & \to {\text{ }}{{\text{p}}_m} = \dfrac{{12\% }}{4} = 3\% \cr & {K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}}} \right)^{m \cdot n}} \cr & {K_n} = 100 \cdot {\left( {1 + \dfrac{3}{{100}}} \right)^{4 \cdot 1}} = 112,55€ \cr} \)
Da bei der unterjährigen Verzinsung die Zinsen nach jedem Quartal dem Kapital zugeschlagen und fortan ebenfalls verzinst werden, rechnen wir nun noch aus wie hoch der Effektivzinssatz ist. Wir nützen dabei die weiter oben stehende Formel "Zins in % gesucht"
\(\eqalign{ & {p_{eff}} = \left( {\root n \of {\dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}} - 1} \right) \cdot 100 \cr & {p_{eff}} = \left( {\root 1 \of {\dfrac{{112.55}}{{100}}} - 1} \right)*100 = 12,55\% \cr} \)
→ Durch die unterjährige Verzinsung ist der Effektivzinssatz mit 12,55% tatsächlich höher als der nominelle Jahreszinssatz von 12%
Gemischte Verzinsung
Bei der gemischten Verzinsung ist die Anlagedauer kein ganzzahliges Vielfaches einer Verzinsungsperiode
\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}}} \right)^{{n_v}}} \cdot \left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}} \cdot {n_r}} \right)\)
\({n_r} = \dfrac{{{\text{Anzahl der Monate der angebrochenen Verzinsungsperiode}}}}{{{\text{Anzahl der Monate einer vollern Verzinsungsperiode}}}}\)
| nv |
Anzahl der vollen Verzinsungsperioden, wird mit Zinseszins berechnet |
| nr |
restliche Zeit als Teil der lediglich angebrochenen Verzinsungsperiode, wird mit einfachem Zins berechnet |
Stetige oder kontinuierliche Verzinsung
Bei der stetigen oder kontinuierlichen Verzinsung konvergiert die Dauer einer Verzinsungsperiode mit anschließender Wiederveranlagung gegen Null, während die Anzahl der Zinsperioden gegen Unendlich geht. Der Zinsertrag steigt mit der Anzahl der Zinsgutschriften pro Jahr. Der zusätzliche Zinsertrag bei sukzessiver Steigerung der jährlichen Zinsperioden nimmt jedoch immer weiter ab und nähert sich einem Grenzwert, der mit Hilfe nachfolgender Exponentialfunktion berechnet wird.
\({K_n} = {K_0} \cdot {e^{\left( {\dfrac{p}{{100}} \cdot n} \right)}}\)
Beispiel:
Wir nehmen die selben Daten wie im Beispiel oben für die quartalsweise Verzinsung
\( \eqalign{ & n = 1{\text{ }}...{\text{ Laufzeit ist 1 Jahr}} \cr & {{\text{K}}_0} = 100€ \cr & {p_{nom}} = 12\% {\text{ }}...{\text{ nomineller Jahreszinssatz}} \cr & {\text{kontinuierliche Verzinsung}} \cr & {K_n} = {K_0} \cdot {e^{\left( {\dfrac{p}{{100}} \cdot n} \right)}} \cr & {K_n} = 100 \cdot{e^{\left( {\dfrac{{12}}{{100}}} \right)}} = 112,75€ \cr & {p_{eff}} = \left( {\root 1 \of {\dfrac{{112,75}}{{100}}} - 1} \right) \cdot 100 = 12,75\% \cr} \)
→ Wir sehen, dass sich durch den Übergang von quartalsweiser auf kontinuierliche Verzinsung der Effektivzinssatz nur geringfügig von 12,55% auf 12,75% erhöht hat.
Annuität
Die Annuität ist ein über die Laufzeit gleichbleibender regelmäßiger Betrag, der (etwa monatlich) zur Tilgung eines Darlehens zurückbezahlt wird. Die Annuität setzt sich zusammen aus einem Anteil zur Kapitaltilgung (Abbau der Schuld) und einer Zinszahlung, die für die Rückzahlung der Zinsen anfällt. Am Anfang der Laufzeit (hoher Schuldenstand) zahlt man vorwiegend für die Zinsen und zahlt kaum das Kapital selbst zurück, während man am Ende der Laufzeit (geringer Schuldenstand) vorwiegend das Kapital tilgt und kaum mehr Zinsen bezahlt. Die Höhe der regelmäßig zu bezahlenden Annuität wird so berechnet, dass sie betragsmäßig konstant bleibt, obgleich der Anteil an der Tilgung im Laufe der Zeit zunimmt und die Zinszahlung im Laufe der Zeit abnimmt.
\(A = \dfrac{{{K_n} \cdot {q^n}}}{{\dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}}}\)
| A |
Annuität, bleibt über die Laufzeit konstant |
| Kn |
Endkapital nach n Jahren |
| i |
Jährlicher Zinssatz (Dezimalzahl) |
| q=1+i |
Aufzinsungsfaktor |
Tilgungsplan
Der Tilgungsplan ist eine tabellarische (z.B. monatliche) Aufstellung über die Kreditlaufzeit, aus der man die Zinszahlung, die Kapitaltilgung, die Annuität und die Restschuld übersichtlich ablesen kann.
| K0 |
Anfangskapital |
| i |
Jährlicher Zinssatz (Dezimalzahl) |
| Ti |
Tilgungsanteil |
Der Tilgungsplan sieht dann wie folgt aus
| Zeit |
Zinszahlung |
Kapitaltilgung |
Annuität |
Restschuld |
| 0 |
|
|
|
K0 |
| 1 |
\({K_0} \cdot i\) |
T1 |
\({A_1} = {K_0} \cdot i + {T_1}\) |
\({K_1} = {K_0} - {T_1}\) |
| ... |
... |
... |
... |
... |
Beispiel:
Veranschaulichung der dramatischen Wirkung vom Zinseszins (Die Idee vom Josephspfennig):
- Hätte Joseph zur Zeit von Jesus Geburt 1€ mit 3% Zinsen bei seiner Hausbank veranlagt und nie etwas abgehoben, so hätten seine Nachkommen im Jahr 2019 ein Guthaben von: \(1€ \cdot {\left( {1 + \dfrac{3}{{100}}} \right)^{2019}} = 82\,\,862\,\,241\,\,987\,\,585\,\,880\,\,104\,\,141\,\,897€ = 8,3 \cdot {10^{25}}€\)
- Bei 8,3 Milliarden Menschen hätte im Jahr 2019 jeder Mensch ein Guthaben von \(\dfrac{{8,3 \cdot {{10}^{25}}}}{{8,3 \cdot {{10}^9}}} = 1 \cdot {10^{16}}€ \overset{\wedge}\to{=} 10{\text{ Billiarden € }}\).
- Hätte er länger gespart und das doppelte Anfangskapital veranlagt, so hätte er heute ein Guthaben von: \(2€ \cdot {\left( {1 + \dfrac{3}{{100}}} \right)^{2019}} = 165\,\,724\,\,483\,\,975\,\,171\,\,760\,\,208\,\,283\,\,795€ = 1,7 \cdot {10^{26}}€\)
- D.h. doppelt so langes sparen, ehe man das Ersparte veranlagt, bringt langfristig nichts.
- Hätte Josef statt 3% sogar 4%, also um 1% mehr an Zinsen heraus verhandelt, so hätte er heute ein Guthaben von: \(1€ {\left( {1 + \dfrac{4}{{100}}} \right)^{2019}} = 24\,\,564\,\,732\,\,784\,\,631\,\,725\,\,180\,\,258\,\,122\,\,392\,\,563\,\,155€ = 2,5 \cdot {10^{34}}€\)
- D.h. etwas höhere Zinsen wirken sich langfristig dramatisch aus. (1034 >> 1026)
- Der Plantet Erde würde in purem Gold (1 kg Gold = 41.000€; Gewicht der Erde = \({\rm{6}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{24}}kg\)) somit \(\left( {{\rm{6}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{24}}} \right) \cdot \left( {4,1 \cdot {{10}^4}} \right) \approx 2,5 \cdot {10^{29}}€\)kosten.
- D.h. die Bank müsste im Jahr 2019: \(\dfrac{{2,5 \cdot {{10}^{34}}}}{{2,5 \cdot {{10}^{29}}}} = 1 \cdot {10^5}\)also 10.000 Planeten Erde aus purem Gold auszahlen... Wer soll das wegtragen und wie soll man das je ausgeben?