Zins- und Zinseszinsrechnung

Zinseszinsrechnung

Bei der Zinseszinsrechnung werden die Zinsen am Ende der Zinsperiode dem Kapital einmalig zugeschlagen, sodass sie in der darauffolgenden Zinsperiode mit verzinst werden. Der Aufzinsungsfaktor q gibt an, um welchen Faktor ein Kapital innerhalb einer Zinsperiode bei einem Zins von p anwächst.

Aufzinsungsfaktor

\(q = 1 + i\)

mit \(i = \dfrac{p}{{100\% }}{\rm{ und }}\left[ i \right] = \left[ q \right] = 1\)

Bei einer n-jährigen Veranlagung mit Zinseszins beträgt der Aufzinsungsfaktor qⁿ.

Beispiel:
\({\text{p = 5% }} \to {\text{i = 0}}{\text{,05}} \to {\text{q = 1}}{\text{,05}}\)

Endkapital K_n gesucht

→ Die Aufzinsung gemäß der leibnizschen Zinseszinsformel dient zur Beantwortung der Fragestellung, welches Endkapital K_n man erhalten wird, wenn man das Anfangskapital K₀ bei einem Zins von p% für n Jahren anlegt.

\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^n} = {K_0} \cdot {q^n}\)

Beispiel:
\(\eqalign{ & {K_0} = 12.500€ \,\,\,...\,\,\,{\text{Anfangskapital}} \cr & p = 2,75\% \,\,\,...\,\,\,{\text{Zins in % }} \cr & n = 1{\text{ Jahr und 9 Monate = }}\dfrac{{21}}{{12}}{\text{ Laufzeit in Jahren}} \cr & {{\text{K}}_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^n} \cr & {K_{\dfrac{{21}}{{12}}}} = 12.500 \cdot {\left( {1 + \dfrac{{2,75}}{{100}}} \right)^{\dfrac{{21}}{{12}}}} = 13.107,75€ \cr} \)

Anfangskapital K₀ gesucht

→ Die Diskontierung gemäß der leibnizschen Zinseszinsformel dient zur Beantwortung der Fragestellung welches Kapital K₀ man anlegen muss, um bei einem Zinssatz von p% nach n Jahren über das Endkapital von K_n zu verfügen.

\({K_0} = \dfrac{{{K_n}}}{{{q^n}}} = \dfrac{{{K_n}}}{{{{\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)}^n}}}\)

Beispiel:
\(\eqalign{ & {K_n} = 742€ {\text{ }}...{\text{ Endkapital}} \cr & p = 3\% {\text{ }}...{\text{ Zins in % }} \cr & n = 5{\text{ Jahre }}...{\text{ Laufzeit}} \cr & {{\text{K}}_0} = \dfrac{{{K_n}}}{{{q^n}}} \cr & p = 3\% \to i = 0,03 \to q = 1,03 \cr & {K_0} = \dfrac{{742}}{{{{1,03}^5}}} = 640,05€ \cr} \)

Laufzeit n gesucht

→ Dient zur Beantwortung der Fragestellung für wie viele Jahre n man ein Anfangskapital K₀ bei einem Zins von p% veranlagen muss, damit man das Endkapital K_n erhält.

\(n = \dfrac{{\log \dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}}}{{\log q}} = \dfrac{{\log \dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}}}{{\log \left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)}}\)

Zins p in % gesucht

→ Dient zur Beantwortung der Fragestellung, welcher Zins erwirtschaftet werden muss, damit nach n Jahren aus dem Anfangskapital K₀ das Endkapital K_n wird.

\(p = \left( {\root n \of {\dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}} - 1} \right) \cdot 100\)

Unterjährige Raten

Für unterjährige Raten gilt
\(\eqalign{ & {i_p} = {\left( {1 + {i_m}} \right)^{\frac{m}{p}}} - 1 \cr & {i_m} = \root {\frac{m}{p}} \of {{i_p} + 1} - 1 \cr & \cr & r = 1 + i = {(1 + {i_m})^m} \cr & {r_p} = \root p \of r = \root p \of {{{\left( {1 + {i_m}} \right)}^m}} = {\left( {1 + {i_m}} \right)^{\frac{m}{p}}} \cr & \cr & {B_{{\text{nachsch }}}} = R \cdot \frac{{1 - {r_p}^{ - n}}}{{{i_p}}} \cr & {B_{{\text{vorsch = }}}}R \cdot \frac{{1 - {r_p}^{ - n}}}{{{i_p}}} \cdot {r_p} \cr & \cr & {E_{{\text{nachsch }}}} = R \cdot \frac{{{r_p}^n - 1}}{{{i_p}}} \cr & {E_{{\text{vorsch }}}} = R \cdot \frac{{{r_p}^n - 1}}{{{i_p}}} \cdot {r_p} \cr} \)

mit

Unterjährige Verzinsung

Bei der unterjährigen Verzinsung ist die Anlagedauer ein ganzzahliges Vielfaches einer Verzinsungsperiode. Die Zinsen werden dabei mehrmals pro Jahr dem Kapital zugeschlagen, z.B. Verzinsungsperiode = vierteljährig → Zinsen werden an jedem Quartalsende dem Kapital zugeschlagen

\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}}} \right)^{m \cdot n}}\)

\({p_m} = \dfrac{p}{m}\)

Beispiel:
\(\eqalign{ & n = 1{\text{ }}...{\text{ Laufzeit ist 1 Jahr}} \cr & {{\text{K}}_0} = 100€ \cr & {p_{nom}} = 12\% {\text{ }}...{\text{ nomineller Jahreszinssatz}} \cr & m = 4{\text{ }}...{\text{ Quartalsweise Verzinsung}} \cr & \to {\text{ }}{{\text{p}}_m} = \dfrac{{12\% }}{4} = 3\% \cr & {K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}}} \right)^{m \cdot n}} \cr & {K_n} = 100 \cdot {\left( {1 + \dfrac{3}{{100}}} \right)^{4 \cdot 1}} = 112,55€ \cr} \)

Da bei der unterjährigen Verzinsung die Zinsen nach jedem Quartal dem Kapital zugeschlagen und fortan ebenfalls verzinst werden, rechnen wir nun noch aus wie hoch der Effektivzinssatz ist. Wir nützen dabei die weiter oben stehende Formel "Zins in % gesucht"
\(\eqalign{ & {p_{eff}} = \left( {\root n \of {\dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}} - 1} \right) \cdot 100 \cr & {p_{eff}} = \left( {\root 1 \of {\dfrac{{112.55}}{{100}}} - 1} \right)*100 = 12,55\% \cr} \)

→ Durch die unterjährige Verzinsung ist der Effektivzinssatz mit 12,55% tatsächlich höher als der nominelle Jahreszinssatz von 12%

Gemischte Verzinsung

Bei der gemischten Verzinsung ist die Anlagedauer kein ganzzahliges Vielfaches einer Verzinsungsperiode

\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}}} \right)^{{n_v}}} \cdot \left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}} \cdot {n_r}} \right)\)

\({n_r} = \dfrac{{{\text{Anzahl der Monate der angebrochenen Verzinsungsperiode}}}}{{{\text{Anzahl der Monate einer vollern Verzinsungsperiode}}}}\)

Einfache Verzinsung

Bei der einfachen Verzinsung werden die Zinsen einmalig für die gesamte Laufzeit vom Anfangskapital K₀ berechnet. Es wird daher nur das Angangskapital verzinst, die Zinsen selbst werden nicht verzinst.Bei "einfacher Veranlagung" werden die jährlichen Zinsen im darauffolgenden Jahr nicht wieder mitverzinst, sondern zuvor ausbezahlt. Der jährliche (einfache) Zins Z (in €, $,..) ohne Zinseszins, ist proportional dem Anfangskapital K₀ , sowie dem Zinssatz p in %, sowie der Laufzeit n in Jahren.

Zins ohne Zinseszins

Der Zins ohne Zinseszins errechnet sich aus dem Produkt vom Anfangskapital multipliziert mit der Laufzeit in Jahren und dem Zinssatz in Prozent dividiert durch 100.

Nachfolgende Formel dient der Beantwortung der Fragestellung, wie viel Zinsen Z in € man ohne Zinseszinsen (=einfache Verzinsung) erhält, wenn man das Anfangskapital K₀ für die Dauer von n Jahren bei einem Zinssatz von p% veranlagt.

\(Z = {K_0} \cdot \dfrac{{p \cdot n}}{{100\%}}\)

Beispiel
Welche Kredithöhe kann bei einer Bank aufnehmen, wenn man bereit ist 720€ an Zinsen in einem Jahr zu bezahlen?
\(\eqalign{ & Z = 720€ \cr & p = 4\% \cr & n = 1 \cr & {K_0} = ? \cr & \cr & Z = {K_0} \cdot \dfrac{{p \cdot n}}{{100\%}} \to {K_0} = Z \cdot \dfrac{{100\%}}{{p \cdot n}} \cr & {K_0} = 720€ \cdot \dfrac{{100}}{4} = 18.000€ \cr} \)

Endkapital ohne Zinseszins

Das Endkapital ohne Zinseszins errechnet sich aus dem Anfangskapital multipliziert mit der Summe aus 1 plus der Laufzeit in Jahren mal dem Zins in Prozent dividiert durch 100.

Das Endkapital K_n ist die Summe aus dem Anfangskapital und dem Zins. Das Endkapital ohne Zinseszins dient der Bewertung von Finanztransaktionen mit kurzen Laufzeiten. Die erzielten Zinsen werden dabei dem Anfangskapital K₀ nicht für eine weitere Verzinsung hinzugerechnet. Dies steht im Gegensatz zur Zinseszinsrechnung, bei der eine exponentielle Verzinsung stattfindet, was vor allem bei langfristigem Investment von entscheidender Bedeutung ist.

Nachfolgende Formel dient der Beantwortung der Fragestellung, welches Endkapital K_n man ohne Zinseszinsen erhält (=einfache Verzinsung), wenn man das Anfangskapital K₀ für die Dauer von n Jahren bei einem Zinssatz von p% veranlagt.

\({K_n} = {K_0} \cdot \left( {1 + \dfrac{{p \cdot n}}{{100\%}}} \right)\)

Beispiel

\(\eqalign{ & {K_0} = 400\,\,€ {\text{ }}...{\text{ Anfangskapital}} \cr & n = \dfrac{5}{{12}}{\text{ }}...{\text{ Laufzeit beträgt 5 Monate}} \cr & p = 6\% {\text{ }}...{\text{ Zinssatz in % }} \cr & {K_n} = {K_0} \cdot \left( {1 + \dfrac{{p \cdot n}}{{100}}} \right) \cr & {K_{\dfrac{5}{{12}}}} = 400 \cdot \left( {1 + \dfrac{{6 \cdot \dfrac{5}{{12}}}}{{100}}} \right) = 410\,\,€ \cr} \)

Tagesgeld

Ein Tagesgeldkonto ist ein fest verzinstes Konto, auf das bzw. von dem der Kontoinhaber täglich in beliebiger Höhe einzahlen und abheben kann. Ein Tagesgeldkonto hat keine Laufzeit. Der Zinssatz ist wesentlich geringer als bei Veranlagungen mit fixer Laufzeit, da die Bank das Geld kaum reinvestieren kann, da es ja jederzeit wieder abgehoben werden kann.

Ein Bankjahr hat dabei fix 360 Tage bzw. 12 Monate zu je fix 30 Tagen

\(\eqalign{ & {Z_d} = Z \cdot \dfrac{d}{{360}} = {K_0} \cdot \dfrac{p}{{100\%}} \cdot \dfrac{d}{{360}} \cr & {K_0} = {Z_d} \cdot \dfrac{{100\%}}{p} \cdot \dfrac{{360}}{d} \cr} \)

Beispiel
Ein Kapital von 7.000€ wird für die Dauer von 3 Monaten zu einem Zinssatz von 0,75% für täglich fälliges Geld veranlagt. Wie hoch belaufen sich die Zinsen?
\(\eqalign{ & {K_0} = 7000€ \cr & p = 0,75\% \cr & d = 90 \cr & {Z_{d = 90}} = ? \cr & \cr & {Z_{90}} = 7000€ *\frac{{0.75}}{{100}}*\frac{{90}}{{360}} = 13,125€ \cr} \)

Zinsrechnung

Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung.

Gläubiger

Unter einem Gläubiger versteht man eine natürliche oder juristische Person (Kreditunternehmen) welche einer anderen natürlichen oder juristischen Person, dem Schuldner, temporär Kapital zur Verfügung stellt.

Schuldner

Unter einem Schuldner versteht man eine natürliche oder juristische Person, die von einer anderen natürlichen oder juristischen Person, dem Gläubiger, temporär Kapital gegen Zahlung einer Überlassungsgebühr, den Zinsen, leiht.

Kapital

Das Kapital ist jener Geldbetrag, den ein Kreditgeber einem Kreditnehmer gegen Bezahlung von Zinsen am Anfang der Verzinsungsperiode überlässt.

\(K = \dfrac{Z}{p} \cdot 100\% \)

Zinssatz

Der Zinssatz ist ein in Prozent ausgedrücktes Entgelt für den Kreditgeber, damit dieser temporär auf Liquidität zu Gunsten des Kreditnehmers verzichtet. Für den Zinssatz p gilt üblicherweise: \(0 \leqslant p \leqslant 1\). Der Zinssatz bezieht sich immer auf einen bestimmten Zeitraum, welcher Verzinsungsperiode genannt wird. Eines negativen Zinssatzes bedient man sich, wenn man Bankguthaben für Anleger unattraktiv machen möchte, etwa um sie zu motivieren in andere Anlageformen (Aktien) zu investieren.

\(p = \dfrac{Z}{K} \cdot 100\% \)

Zinsen

Die Zinsen sind ein in Geldeinheiten (€, $,..) ausgedrückter Preis für die Überlassung von Kapital vom Kreditgeber an den Kreditnehmer. Der Kreditgeber verzichtet temporär auf Liquidität und erhält den Zins als Entschädigung für das Risiko, das eingesetzte Kapital nicht vollständig vom Schuldner zurück zu erhalten.

\(Z = K \cdot \dfrac{p}{{100\% }}\)

Zinseszinsen

Zinseszinsen sind Zinsen auf Zinsen. Die Zinsen aus der ersten Zinsperiode werden dem Kapital zugeschlagen und zukünftig mitverzinst.

Zinsperiode

Zinsen werden zu bestimmten Terminen zur Zahlung fällig. Die zeitliche Differenz zweier aufeinanderfolgender Zinszahlungstermine bezeichnet man als Zinsperiode. Übliche Zinsperioden sind ein Jahr oder ein Quartal, also alle drei Monate bzw. viermal im Jahr.

Verzinsungsmodelle

Bei den verschiedenen Verzinsungsmodellen sind immer Geldzahlungen, Zahlungszeitpunkt bzw. Verzinsungsperioden sowie der Zinssatz von zentraler Bedeutung.

Es werden 2 verschiedene Verzinsungsmodelle unterschieden

• Bei der einfachen Verzinsung werden die Zinsen einmalig für die gesamte Laufzeit vom Anfangskapital K₀ berechnet. Es wird daher nur das Angangskapital verzinst, die Zinsen selbst werden nicht verzinst.
• Bei der Verzinsung mit Zinseszinsen werden die anfallenden Zinsen am Ende der jeweiligen Verzinsungsperiode dem Kapital zugeschlagen und fortan ebenfalls der Verzinsung unterworfen. Verbreitete Verzinsungsperioden sind die jährliche, die quartalsweise und die kontinuierliche Verzinsung.