Wirtschaftsmathematik und CAS

Größenvergleich von absoluten und relativen Werten
Bei Größenvergleichen unterscheidet man zwischen dem Vergleich von absoluten und von relativen Werten.

Vergleich von absoluten Werten
Wenn man zwei oder mehr Werte mit einander vergleichen will, dann bietet sich zunächst der Vergleich der jeweiligen absoluten Werte an. 

Ein absoluter Wert (Holzstücke mit 7m bzw. 7cm Länge) setzt sich zusammen aus

• einem Zahlenwert, der den Betrag angibt     (im Beispiel 7)
• einer Größenart, die festlegt um welche Qualität es sich handelt     (im Beispiel Länge)
• einer Einheit, die festlegt wie der Betrag abzuzählen ist      (im Beispiel cm bzw. m)

Beispiel:
Vergleiche 7m, 7cm
Wir bringen auf die gleiche Einheit "m"
7cm = 0,07m

Nun können wir die Werte an hand ihrer Zahlenwerte wie folgt vergleiche
7m > 7cm = 0,07m
Ein Holzstück von 7m Länge ist langer als ein Holzstück mit einer Länge von 7cm.

Vergleich von relativen Werten bzw. Anteilen
Bei manchen Fragestellungen ist aber ein Vergleich aussagekräftiger, wenn man die zu vergleichenden Größen zu deren „Anteil am Ganzen“ in Relation setzt. Der Vergleich von Anteilen erfolgt über den Umweg von Verhältnisgrößen wie Prozent, Promille oder Steigung

• Prozent
  Der Prozentwert gibt den Anteil am Ganzen in Hundertstel an. In der Prozentrechnung ordnet man dem Grundwert die Zahl 100 zu . 1% ist ein Hundertstel des Grundwerts.
  \(n\% \buildrel \wedge \over = \dfrac{n}{{100}}\)
   
• Promille
  Der Promillewert gibt den Anteil am Ganzen in Tausendstel an. In der Promillerechnung ordnet man dem Grundwert die Zahl 1000 zu . 1‰ ist ein Tausendstel des Grundwerts.
  \(n‰ \buildrel \wedge \over = \dfrac{n}{{1000}} \)
   
• Steigung
  Die Steigung s (einer Straße) gibt das Verhältnis des vertikalen Höhenunterschieds v, zur horizontal zugrunde liegenden Strecke h an
  \(s \buildrel \wedge \over = \dfrac{v}{h} \cdot 100\)

Beispiel:
z.B.: Ein Schulausflug kostet 50€ je Schüler. Eine Mutter verdient 1.000€ / Monat, eine andere Mutter verdient 2.000 € / Monat.

• Absolut kostet der Ausflug zwar jeder Mutter gleich viel (immer 50€)
• In Anteilen am Einkommen gibt es aber einen wesentlichen Unterschied
  • für die Mutter mit 1.000 € / Monat bedeuten 50€ eine Ausgabe von 5% ihres Monatseinkommens,
  • für die andere Mutter von nur 2,5% ihres Monatseinkommen, dh ihre finanzielle Belastung ist nur halb so groß, wie die der 1. Mutter
     

Prozentrechnung
Das Prozent-Symbol % ist gleichbedeutend mit einem Bruch in dessen Zähler der Prozentwert steht und in dessen Nenner der Grundwert steht. Multipliziert man diesen Quotienten mit 100 so erhält man den Prozentsatz.

\({\text{Prozentsatz}} = \dfrac{{{\text{Prozentwert}}}}{{{\text{Grundwert}}}} \cdot 100\)

Dass der Zahlenwert vom Prozentsatz ungleich dem Zahlenwert vom Prozentwert sein kann, veranschaulicht das folgende Beispiel:

Beispiel
Berechne wieviel Prozent 28 Bauteile von einem Ganzen sind, wobei das Ganze 72 Bauteile umfasst,
\(\dfrac{{28}}{{72}} \cdot 100 = 38,8\% \)
28 Teile von einem Ganzen, welches 72 Teile umfasst, entspricht 38,8%
Prozentsatz=38,8%; Prozentwert=28 Bauteile; Grundwert=72 Bauteile

Umwandlung Prozent in Bruch
Um einen Prozentsatz in einen Bruch umzuwandeln, schreibt man den Prozentsatz - aber ohne dem %-Symbol - in den Nenner eines Bruchs, dessen Zähler 100 ist.

Beispiel
\(7\% \buildrel \wedge \over = \dfrac{7}{{100}}\)

Umwandlung Bruch in Prozent
Um einen Bruch in einen Prozentsatz umzuwandeln, dividiert man den Zähler durch den Nenner und multipliziert anschließend mit 100

Beispiel
\(\dfrac{{28}}{{72}} \cdot 100 = 38,8\% \)

Umwandlung Prozent in Dezimalzahl
Um einen Prozentsatz in eine Dezimalzahl umzuwandeln, schreibt man den Prozentsatz als Hundertstel an. 

Beispiel
\(17\% \buildrel \wedge \over = 0,17\)

Umwandlung Dezimalzahl in Prozent
Um eine Dezimalzahl in einen Prozentsatz umzuwandeln, multipliziert man die Dezimalzahl mit 100 und schreibt diesen Zahlenwert mit einem %-Symbol an

Beispiel
\(1,567 \buildrel \wedge \over = 1,567 \cdot 100\% = 156,7\% \)

Brutto bzw Netto 
Netto ist ohne Steuer , Brutto ist mit Steuer

• Netto: Unter dem Nettopreis versteht man einen Preis ohne Mehrwertsteuer. Unter dem Nettoeinkommen versteht man das Bruttoeinkommen, vermindert um die Lohnsteuer und die Sozialversicherung
• Brutto: Unter dem Bruttopreis versteht den Nettopreis plus Mehrwertsteuer. Unter dem Bruttoeinkommen versteht man das Einkommen, bevor der Lohnsteuer- und Sozialversicherungsanteil, den der Arbeitnehmer zu bezahlen hat, abgezogen werden.