Spannung proportional der Änderung der Stromstärke
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Formeln
Phasenlage von Strom und Spannung im Wechselstromkreis
Unter der Phasenlage versteht man die unterschiedlichen Zeitpunkte der Nulldurchgänge von 2 Sinusschwingungen (Strom u. Spannung), obwohl sie die gleiche Frequenz (50 Hz) haben. Die Phasenverschiebung wird als Winkel angegeben, wobei einer vollen Periode der Winkel von 360° bzw. \(2\pi\) entspricht.
Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung im Wechselstromkreis
Der Phasenverschiebungswinkel \(\varphi\) ist ein Maß für den zeitlichen Abstand der Nulldurchgänge von Spannung und Strom.
\(\eqalign{ & {\varphi _{Str}} = {\varphi _{u,\,Str}} - {\varphi _{i,\,Str}}; \cr & \varphi = {\varphi _u} - {\varphi _i}; \cr}\)
- \(\varphi = 0^\circ\) Ohmscher Widerstand: Spannung und Strom liegen in Phase
- \(\varphi = 90^\circ\) Induktivität: Spannung eilt dem Strom um 90° voraus
- \(\varphi = - 90^\circ\) Kapazität: Spannung eilt dem Strom um 90° nach
Ohmscher Widerstand
Beim ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung sind in Phase. Der komplexe Widerstand ZR hat nur einen Realteil aber keinen Imaginärteil
\(\eqalign{ & \dfrac{u}{R} = i \cr & {Z_R} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = R \cr & U{e^{j0}} = R{e^{j0}} \cdot I{e^{j0}} \cr} \)
Induktiver Widerstand
Beim induktiven Widerstand elt der Strom der Spannung nach. Die Spannung ist proportional zur Änderung der Stromstärke. Eine ideale Spule (R=0) bewirkt, dass die Spannung dem Strom um \(\dfrac{\pi }{2} = 90^\circ\) voreilt. Der komplexe Widerstand XL wird auf der positiven imaginären Achse aufgetragen.
\(\eqalign{ & \dfrac{{\underline u }}{L} = \dfrac{{di}}{{dt}} = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cdot j\omega = \underline i \cdot j\omega \cr & {Z_L} = {X_L} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = j \cdot \omega L = \omega L \cdot {e^{j\dfrac{\pi }{2}}} = \omega L \cdot {e^{j90^\circ }} \cr & U{e^{j0}} = \omega L{e^{j\varphi }} \cdot I{e^{ - j\varphi }} \cr} \)
Kapazitiver Widerstand
Beim kapazitiven Widerstand eilt der Strom der Spannung vor. Die Stromstärke ist proportional zur Änderung der Spannung. Ein idealer Kondensator (\(R = \infty \)) ) bewirkt dass die Spannung dem Strom um \(- \dfrac{\pi }{2} = - 90^\circ\) nacheilt. Der komplexe Widerstand XC wird auf der negativen imaginären Achse aufgetragen.
\(\eqalign{
& \dfrac{{\underline i }}{C} = d\frac{{du}}{{dt}} = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _U}} \right)}} \cdot j\omega = \underline u \cdot j\omega \cr
& {Z_C} = {X_C} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = \dfrac{1}{{j\omega C}} = - j\dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j\dfrac{\pi }{2}}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j90^\circ }} \cr
& U{e^{j0}} = \dfrac{1}{{\omega C}}{e^{ - j\varphi }} \cdot I{e^{j\varphi }} \cr} \)
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