Komplexer Drehoperator “a”
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Formeln
Drehstrom
Drehstrom ist eine gängige Kurzbezeichnung für dreiphasigen Wechselstrom, der in 3 um je 120° versetzten Spulen in einem homogenen Magnetfeld erzeugt wird.
Die Summe der 3 so induzierten sinusförmigen Strang-Spannungen u1(t), u2(t) und u3(t) ist zu jedem Zeitpunkt Null. Mit „Strang“ bezeichnet man immer die Größe, die direkt an der Generatorspule anliegt, unabhängig davon ob die Generatorspulen im Stern oder im Dreieck zusammengeschaltet werden. Man kann die 3 Induktionsspulen zu einem Stern oder einem Dreieck zusammenschalten, ohne dass ein Kurzschluss entsteht. Wird für das Drehstromsystem eine Nennspannung angegeben, im Haushalt z.B. 400V, so handelt es sich dabei um den Effektivwert der Außenleiterspannung. Die Spannung zwischen einem Außenleiter und dem Neutralleiter ist hingegen um die Quadratwurzel aus 3 kleiner (im Haushalt also 230V).
Spannungen in einem Drehstromsystem als sich zeitlich ändernde Wechselgrößen
\(\eqalign{ & {u_{1N}}\left( t \right) = \mathop U\limits^ \wedge \cdot \cos \omega t \cr & {u_{2N}}\left( t \right) = \mathop U\limits^ \wedge \cdot \cos \left( {\omega t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) \cr & {u_{3N}}\left( t \right) = \mathop U\limits^ \wedge \cdot \cos \left( {\omega t - \frac{{4\pi }}{3}} \right) \cr} \)
Spannungen in einem Drehstromsystem in komplexer Zeigerdarstellung unter Verwendung vom komplexen Drehoperator "a".
\(\eqalign{ & \underline {{u_{1N}}} \left( t \right) = U \cdot {e^{j{\varphi _U}}} = \overrightarrow {{U_{1N}}} \cr & \underline {{u_{2N}}} \left( t \right) = {a^2} \cdot U \cdot {e^{j{\varphi _U}}} = {a^2} \cdot \overrightarrow {{U_{1N}}} \cr & \underline {{u_{3N}}} \left( t \right) = a \cdot U \cdot {e^{j{\varphi _U}}} = a \cdot \overrightarrow {{U_{1N}}} \cr} \)
Das dreiphasige Wechselstromsystem ist symmetrisch, wenn die 3 Amplituden \(\mathop U\limits^ \wedge {\,_a} = \mathop U\limits^ \wedge {\,_b} = \mathop U\limits^ \wedge {\,_c}\) gleich sind und wenn die Phasenverschiebung jeweils \(120^\circ = \dfrac{{2\pi }}{3}\) beträgt.
Komplexer Drehoperator “a”
In der Wechselstromtechnik werden die elektrischen Größen durch Zeiger dargestellt. Solch ein Zeiger ist ein Vektor, der mit einer frequenzabhängigen Winkelgeschwindigkeit um den Koordinatenursprung rotiert und bei denen Strom- und Spannungsgrößen einen konstanten Phasenverschiebungswinkel zu einander haben.
In der Drehstromtechnik werden elektrische Größen durch Raumzeiger dargestellt. Ist die Last im Dreieck geschaltet, oder ist der Sternpunkt der Last nicht mit dem Neutralleiter verbunden, dann ist die Summe der Phasengrößen immer Null. Auf Grund dieser "Nullbedingung" muß man bei Drehstromsystemen nicht mit drei autonomen Phasengrößen rechnen, sondern kann sich auf zwei Phasengrößen beschränken, da die dritte Größe immer die Ergänzung auf Null sein muss.
Dafür hat sich mit dem komplexen Drehstromoperator a folgende vereinfachte Schreibweise etabliert:
\(a = {e^{j120^\circ }} = {e^{j\dfrac{{2\pi }}{3}}} = \cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + j\sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = - \dfrac{1}{2} + j\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({a^2} = {\left( {{e^{j120^\circ }}} \right)^2} = {e^{j\dfrac{{4\pi }}{3}}} = \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3}} \right) + j\sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3}} \right) = - \dfrac{1}{2} - j\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Für den komplexen Drehstromoperator gelten folgende Rechenregeln:
\(\eqalign{ & {a^2} = {a^{ - 1}};\,\,\,\,\,{a^3} = 1;\,\,\,\,\,{a^4} = a; \cr & 1 + a + {a^2} = 0; \cr & a - {a^2} = j \cdot \sqrt 3 ; \cr & 1 - {a^2} = \sqrt 3 \cdot {e^{\dfrac{{j\pi }}{3}}}; \cr}\)
Symmetrische Drehstromsysteme
Auf Grund der überragenden praktischen Bedeutung werden Dreiphasenwechselstromsysteme und Drehstromsystem im Folgenden synonym verwendet. Ein Dreiphasenwechselstromsystem ist symmetrisch, wenn die 3 Außenleiterspannungen und die 3 Außenleiterströme gleich groß und um jeweils 120° phasenverschoben sind. Elektrische Energie wird vorwiegend mit Synchrongeneratoren "erzeugt", sodass die Spannungen am Ort der Erzeugung symmetrisch sind. Die Impedanzen der Leitungen, vor allem aber die Unsymmetrien der Lasten führen zu unsymmetrischen Drehstromsystemen.
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{Z_1}} = \overrightarrow {{Z_2}} = \overrightarrow {{Z_3}} \cr & \overrightarrow {{I_1}} + \overrightarrow {{I_2}} + \overrightarrow {{I_3}} = 0 \cr & \left| {\overrightarrow {{I_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{I_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{I_3}} } \right| \cr & \overrightarrow {{U_{12}}} + \overrightarrow {{U_{23}}} + \overrightarrow {{U_{31}}} = 0 \cr & \overrightarrow {{U_{1N}}} + \overrightarrow {{U_{2N}}} + \overrightarrow {{U_{3N}}} = 0 \cr & \left| {\overrightarrow {{U_{12}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{U_{23}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{U_{31}}} } \right| = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_{1N}}} = \sqrt {3 \cdot } \overrightarrow {{U_{2N}}} = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_{3N}}} \cr}\)
Zur Berechnung symmetrischer Drehstromnetze genügen einphasige Ersatzschaltbilder. Statt der früher üblichen und veralteten Leiterbezeichnung R, S und T wird heute L1, L2 und L3 oder auch La, Lb und Lc verwendet.
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