Österreichische AHS Matura - 2022.01.12 - 4 Typ II Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Krankenstände

Die durchschnittliche Dauer der Krankenstände von Angestellten in einem bestimmten Betrieb ist in den letzten Jahren gesunken.

Teil a

In der nachstehenden Tabelle ist für das Jahr 2000 und für das Jahr 2015 jeweils die durchschnittliche Dauer der Krankenstande in Tagen angegeben.

Mithilfe dieser Daten soll eine lineare Funktion K(t) erstellt werden, die die durchschnittliche Dauer der Krankenstände in Abhängigkeit von der Zeit t ab dem Jahr 2000 beschreibt.

t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 2000

K(t) ... durchschnittliche Dauer der Krankenstande zur Zeit t in Tagen

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung der linearen Funktion K auf.

K(t)=
[0 / 1 P.]

Es wird folgende Berechnung durchgeführt:

\(\dfrac{{9,9 - 12,6}}{{12,6}} \approx - 0,214\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie das Ergebnis dieser Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Krankenstände

Die durchschnittliche Dauer der Krankenstände von Angestellten in einem bestimmten Betrieb ist in den letzten Jahren gesunken.

Teil b

Aus langjähriger Erfahrung ist bekannt, dass im Winter der Angestellte A mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % und der Angestellte B mit einer Wahrscheinlichkeit von 30 % erkrankt.

 Dabei wird modellhaft angenommen, dass alle Erkrankungen unabhängig voneinander erfolgen.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Beschreiben Sie ein im gegebenen Sachzusammenhang mögliches Ereignis E, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird.

\(P\left( E \right) = 1 - 0,8 \cdot 0,7\)

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Angestellte A in höchstens 1 von 5 Wintern erkrankt.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best of Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Hurrikans - tropische Wirbelstürme

Die Saffir-Simpson-Hurrikan-Skala teilt Hurrikans anhand ihrer Windgeschwindigkeit in fünf Kategorien– von Kategorie 1 (schwach) bis Kategorie 5 (verwüstend) – ein.

Teil a

Den einzelnen Hurrikan-Kategorien dieser Skala sind unterschiedliche Schadenspotenziale zugeordnet, die den verursachten Schaden beschreiben:

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Weisen Sie unter Verwendung der Werte aus der Tabelle nach, dass der Zusammenhang zwischen der Hurrikan-Kategorie und dem Schadenspotenzial nicht linear und auch nicht exponentiell ist.
[0 / ½ / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best of Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Hurrikans - tropische Wirbelstürme

Die Saffir-Simpson-Hurrikan-Skala teilt Hurrikans anhand ihrer Windgeschwindigkeit in fünf Kategorien– von Kategorie 1 (schwach) bis Kategorie 5 (verwüstend) – ein.

Teil b

Im 45-jahrigen Zeitraum von 1972 bis 2016 traten 110 Große Hurrikans auf (das sind Hurrikans, die auf der Saffir-Simpson-Hurrikan-Skala in eine der Kategorien 3, 4 und 5 fallen). Für den Zeitraum von 1972 bis 2016 wird die Anzahl aller Hurrikans pro Jahr untersucht.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie unter Verwendung von \(\overline x \)  eine Formel zur Berechnung von h auf.

h = [0 / 1 P.]

Die nachstehende Tabelle gibt einen Überblick über die Anzahl aller Hurrikans pro Jahr für den Zeitraum von 1972 bis 2016.

Datenquelle: Landsea, Christopher W., Gabriel A. Vecchi et al.: Impact of Duration Thresholds on Atlantic Tropical Cyclone Counts.

In: Journal of Climate 23(10) (2010), S. 2 508 – 2 519.

Eine exakte Berechnung des arithmetischen Mittels \(\overline x \) der Anzahl aller Hurrikans pro Jahr ist anhand der in der obigen Tabelle zusammengefassten Daten nicht möglich. Mithilfe der Klassenmitten aus der linken Spalte kann jedoch ein Näherungswert für \(\overline x \) berechnet werden. Dabei wird z. B. für „9 bis 11“ als Klassenmitte der Wert 10 verwendet.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie diesen Näherungswert für \(\overline x \)

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best of Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Hurrikans - tropische Wirbelstürme

Die Saffir-Simpson-Hurrikan-Skala teilt Hurrikans anhand ihrer Windgeschwindigkeit in fünf Kategorien– von Kategorie 1 (schwach) bis Kategorie 5 (verwüstend) – ein.

Teil c

Windgeschwindigkeiten werden oft in Kilometern pro Stunde (km/h) oder Knoten (kn) angegeben. Es gilt:

1 kn = 1,852 km/h

Zwischen der Windgeschwindigkeit v (in km/h) und der Windgeschwindigkeit v_k (in kn) besteht ein direkt proportionaler Zusammenhang.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung auf, die diesen Zusammenhang beschreibt.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe - Best of Wertung
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Auslastung von Flügen

Für Fluggesellschaften ist eine hohe Auslastung ihrer Flüge wichtig.

Teil a

Häufig werden bei Flügen nicht alle verkauften Tickets in Anspruch genommen. Daher werden üblicherweise mehr Tickets verkauft, als Plätze zur Verfügung stehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person (unabhängig von den anderen Personen) ihr Ticket in Anspruch nimmt, beträgt 90 %. Für einen bestimmten Flug werden 6 % mehr Tickets verkauft, als Platze zur Verfügung stehen.

• Es stehen m Plätze zur Verfügung.
• Es werden n Tickets verkauft.

Bei n verkauften Tickets betragt der Erwartungswert für die in Anspruch genommenen Tickets 477.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie n und m.
[0 / 1 P.]

Folgendes Ereignis E wird betrachtet:

E ... „für mindestens 1 Person, die ihr Ticket in Anspruch nehmen möchte, steht kein Platz zur Verfügung“

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(E).
[0 / 1 P.]

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Auslastung von Flügen

Für Fluggesellschaften ist eine hohe Auslastung ihrer Flüge wichtig.

Teil b

Für einen bestimmten Flug eines voll besetzten Flugzeugs kann der Zusammenhang zwischen der Flugdistanz s und dem Treibstoffverbrauch V(s) näherungsweise durch die Funktion

\(V:\left[ {2000;10000} \right] \to {\mathbb{R}^ + }\)

beschrieben werden.

\(V\left( s \right) = 4 + \left( {\dfrac{s}{{128000}} - \dfrac{1}{4}} \right) \cdot \dfrac{s}{{1000}} \cdot {e^{ - \dfrac{2}{{1000}}}}{\text{ mit }}2000 \leqslant s \leqslant 10000\)

• s ... Flugdistanz in km
• V(s) ... Treibstoffverbrauch bei der Flugdistanz s in Litern pro Fluggast pro 100 km

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die Flugdistanz d (in km), bei der der Treibstoffverbrauch am geringsten ist.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Menge an Treibstoff (in L), die dieses Flugzeug für die Flugdistanz d benötigt, wenn es mit 271 Fluggästen voll besetzt ist.
[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
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​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Atemstromstärke

Unter Atemstromstärke versteht man die pro Zeiteinheit ein- bzw. ausgeatmete Luftmenge. Sie wird modellhaft durch die Funktion f in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben (t in s, f(t) in L/s). Für die Atemstromstärke von Mathias gilt modellhaft:

\(f\left( t \right) = 0,5 \cdot sin\left( {1,25} \right) \cdot t\)

Ein Atemzyklus besteht aus einer vollständigen Einatmungsphase und einer vollständigen Ausatmungsphase. Die Beobachtung beginnt bei t = 0. In der nachstehenden Abbildung ist ein Atemzyklus dargestellt.

Illustration fehlt

Teil a
In der Ausatmungsphase des betrachteten Atemzyklus von Mathias hat die Funktion f an der Stelle t₁ eine Extremstelle.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie t₁ (in s).
[0 / 1 P.]

Im betrachteten Atemzyklus gibt t₂ mit t₂ > 0 denjenigen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge von Mathias erstmals nach Beginn des Atemzyklus minimal ist.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie t₂ (in s).
[0 / 1 P.]

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Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe - Best of Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Atemstromstärke

Unter Atemstromstärke versteht man die pro Zeiteinheit ein- bzw. ausgeatmete Luftmenge. Sie wird modellhaft durch die Funktion f in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben (t in s, f(t) in L/s). Für die Atemstromstärke von Mathias gilt modellhaft:

\(f\left( t \right) = 0,5 \cdot sin\left( {1,25} \right) \cdot t\)

Ein Atemzyklus besteht aus einer vollständigen Einatmungsphase und einer vollständigen Ausatmungsphase. Die Beobachtung beginnt bei t = 0. In der nachstehenden Abbildung ist ein Atemzyklus dargestellt.

Illustration fehlt

Teil b

Zu Beginn einer Einatmungsphase befinden sich 3,5 Liter Luft in der Lunge von Mathias.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie die nachstehende Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.

\(\int\limits_0^{2,5} {f\left( t \right)\,\,dt + 3,5 \approx 4,29} \)

Die Funktion V beschreibt das Volumen V(t) der eingeatmeten Luft von Mathias während einer Einatmungsphase in Abhängigkeit von der Zeit t (Beginn der Einatmungsphase bei t = 0 und V(0) = 0, t in s, V(t) in L).

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ergänzen Sie die beiden fehlenden Zahlen a,b in der nachstehenden Funktionsgleichung von V.

\(V\left( t \right) = - 0,4 \cdot cos\left( {a \cdot t} \right) + b\)

[0 / ½ / 1 P.]