Österreichische AHS Matura - 2020.05.28 - 24 Typ I Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zahlen und Zahlenmengen

Gegeben sind fünf Aussagen zu Zahlen und Zahlenmengen.

• Aussage 1: \(\sqrt {\dfrac{9}{2}} \) ist eine rationale Zahl
• Aussage 2: \( - \sqrt {100} \) ist eine ganze Zahl
• Aussage 3: \(\sqrt {15} \) hat eine endliche Dezimaldarstellung
• Aussage 4: \(\sqrt 2 \) ist eine rationale Zahl
• Aussage 5: \( - 4\) ist kein Quadrat einer reellen Zahl

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Gewinnaufteilung

Eine Spielgemeinschaft bestehend aus 3 Spielerinnen gewinnt € 10.000. Dieser Gewinn wird wie folgt aufgeteilt: Spielerin B erhält um 50 % mehr als Spielerin A, Spielerin C erhält um 20 % weniger als Spielerin B. Mit x wird der Betrag bezeichnet, den Spielerin A erhält (x in €).

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie eine Gleichung an, mit der x berechnet werden kann.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Delegation

Aus einer großen Gruppe von Jugendlichen und Erwachsenen soll eine Delegation gebildet werden. Dabei gelten die folgenden drei Vorschriften:

1. Die Delegation soll mindestens 8 Mitglieder umfassen.
2. Die Delegation soll höchstens 12 Mitglieder umfassen.
3. In der Delegation sollen mindestens doppelt so viele Jugendliche wie Erwachsene sein.

Zwei der drei Vorschriften sind untenstehend jeweils durch eine Ungleichung beschrieben. Dabei wird die Anzahl der Jugendlichen in dieser Delegation mit J und die Anzahl der Erwachsenen in dieser Delegation mit E bezeichnet.

• Aussage 1: \(J + E \leqslant 12\)
• Aussage 2: \(J \geqslant 2 \cdot E\)
• Aussage 3: \(J + E \leqslant 8\)
• Aussage 4: \(J - 2 \cdot E < 0\)
• Aussage 5: \(E \geqslant 2 \cdot J\)

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Ungleichungen an.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Himmelsrichtungen

Nachstehend ist eine symmetrische Windrose abgebildet, die Himmelsrichtungen zeigt.

Bild

Die Geschwindigkeit eines Schiffes, das in Richtung Nordwest (NW) fahrt, wird durch den Vektor
\(\overrightarrow u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - a}\\ a \end{array}} \right)\) mit \(a \in {{\Bbb R}^ + }\) beschrieben.

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten

Geben Sie einen Vektor \(\overrightarrow v \)  an, der die Geschwindigkeit eines Schiffes beschreibt, das in Richtung Nordost (NO) fährt.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Skalierung der Koordinatenachsen

Im nachstehenden Koordinatensystem, dessen Achsen unterschiedlich skaliert sind, ist eine Gerade g dargestellt. Auf der x-Achse ist a und auf der y-Achse ist b markiert. Dabei sind a und b ganzzahlig. Die Gerade g wird durch \(y = - 2 \cdot x + 4\) beschrieben

Bild

Aufgabenstellung:
Geben Sie a und b an.

[0 / ½ / 1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Bahntrasse

Die Steigung einer geradlinigen Bahntrasse wird in Promille (‰) angegeben. Beispielsweise ist bei einem Höhenunterschied von 1 m pro 1 000 m zurückgelegter Distanz in horizontaler Richtung die Steigung 1 ‰.

Aufgabenstellung

Geben Sie eine Gleichung an, mit der für eine geradlinige Bahntrasse mit der Steigung 30 ‰ der Steigungswinkel α exakt berechnet werden kann (α > 0).

[0 / 1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
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Kostenfunktion

Die Gesamtkosten, die bei der Herstellung eines Produkts anfallen, können mithilfe einer differenzierbaren Kostenfunktion K modelliert werden. Dabei ordnet K der Produktionsmenge x die Kosten K(x) zu (x in Mengeneinheiten (ME), K(x) in Geldeinheiten (GE)).

Für eine Kostenfunktion \(K:\left[ {0;{x_2}} \right] \to {\Bbb R}{\text{ und }}{x_1}{\text{ mit 0 < }}{{\text{x}}_1} < {x_2}\) gelten nachstehende Bedingungen:

• K ist im Intervall [0; x₂] streng monoton steigend.
• Die Fixkosten betragen 10 GE.
• Die Kostenfunktion hat im Intervall [0; x₁) einen degressiven Verlauf, d. h., die Kosten steigen bei zunehmender Produktionsmenge immer schwacher.
• Bei der Produktionsmenge x₁ liegt die Kostenkehre. Die Kostenkehre von K ist diejenige Stelle, ab der die Kosten immer starker steigen.

Aufgabenstellung

Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Verlauf des Graphen einer solchen Kostenfunktion K.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zug

Ein Zug bewegt sich bis zum Zeitpunkt t = 0 mit konstanter Geschwindigkeit vorwärts. Ab dem Zeitpunkt t = 0 erhöht der Zug seine Geschwindigkeit. Die Funktion v ordnet dem Zeitpunkt t mit \(0 \leqslant t \leqslant 60\) die Geschwindigkeit \(v\left( t \right) = a \cdot t + b\)  zu (t in s, v(t) in m/s, a, b ∈ ℝ).

Aufgabenstellung:

Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht.

Für den Parameter a gilt ___________1__________ und für den Parameter b gilt ________2___________ .

• Parameter a_1: \(a < 0\)
• Parameter a_2: \(a = 0\)
• Parameter a_3: \(a > 0\)

• Parameter b_1: \(b < 0\)
• Parameter b_2: \(b = 0\)
• Parameter b_3: \(b > 0\)

[0 / ½ / 1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
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Lineare Funktion

Gegeben ist eine lineare Funktion 
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = k \cdot x + d{\text{ mit }}k,d \in {\Bbb R}{\text{ und }}k \ne 0\)

Es gilt \(\dfrac{{f\left( 5 \right) - f\left( a \right)}}{2} = k\) für ein \(a \in {\Bbb R}\)
 

Aufgabenstellung:
Geben Sie a an.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
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Weinlese

Die sogenannte Weinlese (Ernte der Weintrauben) in einem Weingarten erfolgt umso schneller, je mehr Personen daran beteiligt sind. Die Funktion f modelliert den indirekt proportionalen Zusammenhang zwischen der für die Weinlese benötigten Zeit und der Anzahl der beteiligten Personen. Dabei ist f(n) die benötigte Zeit für die Weinlese, wenn n Personen beteiligt sind (n ∈ ℕ\{0}, f(n) in Stunden).

Aufgabenstellung:

Geben Sie f(n) an, wenn bekannt ist, dass die benötigte Zeit für die Weinlese bei einer Anzahl von 8 beteiligten Personen 6 Stunden beträgt.

f(n)=
wobei: \(n \in {\Bbb N}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

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Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Anzahl von Tieren

Man nimmt an, dass sich die Anzahl der Tiere einer bestimmten Tierart auf der Erde um 1,8 % pro Jahr erhöht.

Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie diejenige Zeitdauer in Jahren, innerhalb der sich die Anzahl der Tiere dieser Tierart auf der Erde verdoppelt.

Zeitdauer: ca.            Jahre

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Bewegung auf einem Kreis

Ein Punkt P bewegt sich auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt M = (0 | 0) mit konstanter Geschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn. Zu Beginn der Bewegung (zum Zeitpunkt t = 0) liegt der Punkt P auf der positiven x-Achse wie in der nachstehenden Abbildung dargestellt.

Bild

Die Funktion f ordnet der Zeit t die zweite Koordinate \(f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot t} \right)\) des Punktes P zur Zeit t zu (t in s, f(t) in dm, a, b ∈ ℝ⁺). Der in der nachstehenden Abbildung dargestellte Graph von f verlauft durch den Punkt H, wobei gilt:

Bild

Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Radius des Kreises und die Umlaufzeit des Punktes P (für eine Umrundung).

• Radius des Kreises:         dm
• Umlaufzeit:                  s

[0 / ½ / 1 Punkt]