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BMBWF - FA 4.1 .. FA 4.4: Polynomfunktionen

LösungswegBeat the Clock

Aufgabe 1040

AHS - 1_040 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Grad einer Polynomfunktion

Gegeben sind Ausschnitte der Graphen von fünf Polynomfunktionen f1 bis f5. Die Ausschnitte enthalten alle Extrem- und Wendepunkte der Graphen.

Zum weiterlesen bitte Aufklappen:

  • Aussage 1: Die Polynomfunktion f1 hat den Grad 2. Funktion f f(x) = -(x (x + 4)) f_1 Text1 = "f_1" f_1 Text1 = "f_1"
  • Aussage 2: Die Polynomfunktion f2 hat den Grad 2. Funktion f f(x) = (x - 1)³ + 1 f_2 Text1 = "f_2" f_2 Text1 = "f_2"
  • Aussage 3: Die Polynomfunktion f3 hat den Grad 4. Funktion f f(x) = x² (x + 2) (x - 2) f_3 Text1 = "f_3" f_3 Text1 = "f_3"
  • Aussage 4: Die Polynomfunktion f4 hat den Grad 3. Funktion f f(x) = 0.2 (x + 1) (3x + 5) (2x - 1) f_4 Text1 = "f_4" f_4 Text1 = "f_4"
  • Aussage 5: Die Polynomfunktion f5 hat den Grad 3. Funktion f f(x) = x³ (x - 2) f_5 Text1 = "f_5" f_5 Text1 = "f_5"

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) zum Grad an!

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Polynomfunktion 2. Grades
Polynomfunktion 3. Grades
Polynomfunktion 4. Grades
Extremstelle
Wendepunkt einer Funktion
Polynomfunktion n-ten Grades
Grad einer Polynomfunktion - 1040. Aufgabe 1_040
Grad einer Polynomfunktion - 1184. Aufgabe 1_184
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Aufgabe 1103

AHS - 1_103 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion hat die Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\text{ mit }}a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}{\text{ und }}a \ne 0\). Ihr Graph ist eine Parabel.

Eigenschaft A Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle.
Eigenschaft B Der Graph hat mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Eigenschaft C Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt.
Eigenschaft D Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt.
Eigenschaft E Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur x-Achse.
Eigenschaft F Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vorgegebenen Bedingungen für a, b und c die daraus jedenfalls resultierende Eigenschaft (aus A bis F) zu!

Aussage Deine Antwort
\(a < 0\)  
\(a > 0\)  
\(c = 0\)  
\(b = 0\)  
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Parabel
Quadratische Funktion - 1103. Aufgabe 1_103
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Aufgabe 1123

AHS - 1_123 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Polynomfunktion
Es sind die Graphen von vier Polynomfunktionen gegeben

Funktion A \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x\)
Funktion B \(f\left( x \right) = - {x^3} + {x^2} + 2x\)
Funktion C \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 1\)
Funktion D \(f\left( x \right) = - {x^4} + 4{x^2}\)
Funktion E \(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3}\)
Funktion F \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 1\)
  • Graph 1: Funktion f f(x) = x³ - 2x² + 1 f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)"
  • Graph 2: Funktion f f(x) = x² - 2x f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)"
  • Graph 3: Funktion f f(x) = 4x² - x⁴ f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)"
  • Graph 4: Funktion f f(x) = -x³ + x² + 2x f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)"

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den obigen Graphen jeweils die entsprechende Funktionsgleichung (aus A bis F) zu!

Deine Antwort
Graph 1
Graph 2
Graph 3
Graph 4
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Polynomfunktion n-ten Grades
Polynomfunktion - 1123. Aufgabe 1_123
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Aufgabe 1158

AHS - 1_158 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Graphen von Polynomfunktionen
Gegeben ist eine Polynomfunktion f dritten Grades.

  • Graph 1: Funktion f f(x) = (x + 1) (x - 1)²
  • Graph 2: Funktion f f(x) = x³ + 1
  • Graph 3: Funktion f f(x) = x⁴ - 2x² - 1
  • Graph 4: Funktion f f(x) = -(x⁴ - 2x² - 1) - x
  • Graph 5: Funktion f f(x) = -x³ + x - 1.5

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige(n) Abbildung(en) an, die einen möglichen Funktionsgraphen von f zeigt/zeigen!

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Graph einer Funktion
Polynomfunktion 3. Grades
Graphen von Polynomfunktionen - 1158. Aufgabe 1_158
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Aufgabe 1269

AHS - 1_269 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Parabel
Der Graph einer Polynomfunktion zweiten Grades mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) ist eine Parabel.

Funktion f f(x) = -8 (x - 1) (x + 1) Funktion g g(x) = -2 (x - 2) (x + 2) Funktion h h(x) = -8 / 9 (x - 3) (x + 3)

  • Aussage 1: \(a < 0\)
  • Aussage 2: \(a > 0\)
  • Aussage 3: \(b = 0\)
  • Aussage 4: \(b < 0\)
  • Aussage 5: \(c = 0\)

Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten a, b und c jedenfalls erfüllen, damit die Parabel (so wie in der Skizze) nach unten offen ist und ihren Scheitel auf der y-Achse hat?


Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 4.1
Parabel
Polynomfunktion 2. Grades
Parabel - 1269. Aufgabe 1_269
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Aufgabe 1288

AHS - 1_288 & Lehrstoff: FA 4.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Skalierung der Achsen
Die unten stehende Grafik zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer Polynomfunktion f vom Grad 3. In der zugehörenden Wertetabelle sind die Koordinaten einzelner Punkte angeführt.

Funktion f f(x) = Wenn[-4 < x < 6, -1 / 16 (x + 1)² (x - 5)] f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)"

x y
-4 5,06
-3 2
-2 0,44
-1 0
0 0,31
1 1
2 1,69
3 2
4 1,56
5 0

Aufgabenstellung:
Tragen Sie die Skalierung der Achsen so ein, dass eine Übereinstimmung mit den Werten der Tabelle und der Grafik gegeben ist! Zeichnen Sie dazu auf jeder Achse zumindest zwei ganzzahlige Werte ein!

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Polynomfunktion 3. Grades
Skalierung der Achsen - 1288. Aufgabe 1_288
Wertetabelle einer Funktion
Graph einer Funktion
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Lösungsweg

Aufgabe 1289

AHS - 1_289 & Lehrstoff: FA 4.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Zusammenhang Tabelle – Graph
Von Polynomfunktionen f mit \(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} {\text{ mit }}n \in {\Bbb N}\) kennt man die Funktionswerte f(x) an einigen Stellen x.

  • Graph A: Funktion f f(x) = -1 / 4.5 x³ (x - 4) Funktion f f(x) = -1 / 4.5 x³ (x - 4)
  • Graph B: Funktion f f(x) = Wenn[-5 < x < 5, -1 / 55 (x + 1) x (x - 9)]
  • Graph C: Funktion f f(x) = Wenn(-5 < x < 5, 0.13x² (x + 2.8) (x - 2.8))
  • Graph D: Funktion f f(x) = Wenn[-5 < x < 5, 0.25x³]
  • Graph E: Funktion f f(x) = Wenn(-5 < x < 6, -1 / 16 (x - 5) (x + 1)²)
  • Graph F: Funktion f f(x) = Wenn[-5 < x < 6, -1 / 8 (x - 5) (x + 1)²]

  • Wertetabelle 1:
x f1(x)
-3 4
-1 0
1 2
  • Wertetabelle 2:
x f2(x)
-2 -2
0 0
2 -2
  • Wertetabelle 3:
x f3(x)
0 0
3 6
4 0
  • Wertetabelle 4:
x f4(x)
-3 2
-1 0
3 2


Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Tabellen jeweils einen möglichen Graphen (aus A bis F) richtig zu!

Deine Antwort
Wertetabelle 1
Wertetabelle 2
Wertetabelle 3
Wertetabelle 4
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 4.2
Polynomfunktion n-ten Grades
Zusammenhang Tabelle – Graph - 1289. Aufgabe 1_289
Wertetabelle einer Funktion
Graph einer Funktion
Fragen oder Feedback
Lösungsweg

Aufgabe 1270

AHS - 1_270 & Lehrstoff: FA 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Nullstellen
Gegeben ist die Funktion g mit der Gleichung \(g\left( x \right) = 2 - \dfrac{{{x^2}}}{8}\)


Aufgabenstellung
Berechnen Sie alle Werte von x, für die g(x) = 0 gilt!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 4.3
Nullstellen - 1270. Aufgabe 1_270
Nullstelle einer Funktion
Fragen oder Feedback
Lösungsweg

Aufgabe 1317

AHS - 1_317 & Lehrstoff: FA 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Funktionswert bestimmen
Der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt und geht durch den Punkt P = (1|2).


Aufgabenstellung
Geben Sie den Funktionswert an der Stelle x = –1 an!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 4.3
Funktionswerte
Funktionswert bestimmen - 1317. Aufgabe 1_317
Ungerade Funktion
Polynomfunktion 3. Grades
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LösungswegBeat the Clock

Aufgabe 1019

AHS - 1_019 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Polynomfunktionen

Die folgenden Aussagen beschreiben Eigenschaften von Polynomfunktionen f mit \(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} {\text{ mit }}n \in \mathbb{N}\)

  • Aussage 1: Jede Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle.
  • Aussage 2: Jede Polynomfunktion vierten Grades hat mindestens eine Nullstelle.
  • Aussage 3: Jede Polynomfunktion, die zwei lokale Extremstellen hat, ist mindestens vom Grad 3.
  • Aussage 4: Jede Polynomfunktion, die genau zwei lokale Extremstellen hat, hat mindestens eine Wendestelle.
  • Aussage 5: Jede Polynomfunktion, deren Grad größer als 3 ist, hat mindestens eine lokale Extremstelle.

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 4.4
Polynomfunktion n-ten Grades
Wendepunkt einer Funktion
Nullstelle einer Funktion
Extremstelle
Polynomfunktionen - 1019. Aufgabe 1_019
Fragen oder Feedback
Lösungsweg

Aufgabe 1039

AHS - 1_039 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Nullstellen einer Polynomfunktion

Wie viele verschiedene reelle Nullstellen kann eine Polynomfunktion 3. Grades haben?


Aufgabenstellung
Veranschaulichen Sie Ihre Lösungsfälle durch jeweils einen möglichen Graphen!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 4.4
Polynomfunktion 3. Grades
Nullstelle einer Funktion
Nullstellen einer Polynomfunktion - 1039. Aufgabe 1_039
Fundamentalsatz der Algebra
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Aufgabe 1083

AHS - 1_083 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
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Polynomfunktion 3. Grades

Gegeben ist die Polynomfunktion 3. Grades \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\text{ mit a}}{\text{,}}\,\,{\text{b}}{\text{,}}\,\,{\text{c}}{\text{,}}\,\,{\text{d}} \in \mathbb{R}{\text{ und }}a \ne 0\)

Wie viele reelle Nullstellen kann diese Funktion besitzen?

  • Aussage 1: keine
  • Aussage 2: mindestens eine
  • Aussage 3: höchstens drei
  • Aussage 4: genau vier
  • Aussage 5: unendlich viele

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

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Polynomfunktion 3. Grades
Nullstelle einer Funktion
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