BMBWF - FA 4.1 .. FA 4.4: Polynomfunktionen

AHS - 1_040 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Grad einer Polynomfunktion

Gegeben sind Ausschnitte der Graphen von fünf Polynomfunktionen f1 bis f5. Die Ausschnitte enthalten alle Extrem- und Wendepunkte der Graphen.

Zum weiterlesen bitte Aufklappen:

• Aussage 1: Die Polynomfunktion f₁ hat den Grad 2.
• Aussage 2: Die Polynomfunktion f₂ hat den Grad 2.
• Aussage 3: Die Polynomfunktion f₃ hat den Grad 4.
• Aussage 4: Die Polynomfunktion f₄ hat den Grad 3.
• Aussage 5: Die Polynomfunktion f₅ hat den Grad 3.

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) zum Grad an!

AHS - 1_103 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion hat die Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\text{ mit }}a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}{\text{ und }}a \ne 0\). Ihr Graph ist eine Parabel.

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vorgegebenen Bedingungen für a, b und c die daraus jedenfalls resultierende Eigenschaft (aus A bis F) zu!

AHS - 1_123 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Polynomfunktion
Es sind die Graphen von vier Polynomfunktionen gegeben

• Graph 1:
• Graph 2:
• Graph 3:
• Graph 4:

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den obigen Graphen jeweils die entsprechende Funktionsgleichung (aus A bis F) zu!

AHS - 1_158 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Graphen von Polynomfunktionen
Gegeben ist eine Polynomfunktion f dritten Grades.

• Graph 1:
• Graph 2:
• Graph 3:
• Graph 4:
• Graph 5:

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige(n) Abbildung(en) an, die einen möglichen Funktionsgraphen von f zeigt/zeigen!

AHS - 1_269 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Parabel
Der Graph einer Polynomfunktion zweiten Grades mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) ist eine Parabel.

• Aussage 1: \(a < 0\)
• Aussage 2: \(a > 0\)
• Aussage 3: \(b = 0\)
• Aussage 4: \(b < 0\)
• Aussage 5: \(c = 0\)

Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten a, b und c jedenfalls erfüllen, damit die Parabel (so wie in der Skizze) nach unten offen ist und ihren Scheitel auf der y-Achse hat?

Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

AHS - 1_288 & Lehrstoff: FA 4.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Skalierung der Achsen
Die unten stehende Grafik zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer Polynomfunktion f vom Grad 3. In der zugehörenden Wertetabelle sind die Koordinaten einzelner Punkte angeführt.

Aufgabenstellung:
Tragen Sie die Skalierung der Achsen so ein, dass eine Übereinstimmung mit den Werten der Tabelle und der Grafik gegeben ist! Zeichnen Sie dazu auf jeder Achse zumindest zwei ganzzahlige Werte ein!

AHS - 1_289 & Lehrstoff: FA 4.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zusammenhang Tabelle – Graph
Von Polynomfunktionen f mit \(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} {\text{ mit }}n \in {\Bbb N}\) kennt man die Funktionswerte f(x) an einigen Stellen x.

• Graph A:
• Graph B:
• Graph C:
• Graph D:
• Graph E:
• Graph F:

• Wertetabelle 1:

• Wertetabelle 2:

• Wertetabelle 3:

• Wertetabelle 4:

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Tabellen jeweils einen möglichen Graphen (aus A bis F) richtig zu!

AHS - 1_270 & Lehrstoff: FA 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Nullstellen
Gegeben ist die Funktion g mit der Gleichung \(g\left( x \right) = 2 - \dfrac{{{x^2}}}{8}\)

Aufgabenstellung
Berechnen Sie alle Werte von x, für die g(x) = 0 gilt!

AHS - 1_317 & Lehrstoff: FA 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Funktionswert bestimmen
Der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt und geht durch den Punkt P = (1|2).

Aufgabenstellung
Geben Sie den Funktionswert an der Stelle x = –1 an!

AHS - 1_019 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Polynomfunktionen

Die folgenden Aussagen beschreiben Eigenschaften von Polynomfunktionen f mit \(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} {\text{ mit }}n \in \mathbb{N}\)

• Aussage 1: Jede Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle.
• Aussage 2: Jede Polynomfunktion vierten Grades hat mindestens eine Nullstelle.
• Aussage 3: Jede Polynomfunktion, die zwei lokale Extremstellen hat, ist mindestens vom Grad 3.
• Aussage 4: Jede Polynomfunktion, die genau zwei lokale Extremstellen hat, hat mindestens eine Wendestelle.
• Aussage 5: Jede Polynomfunktion, deren Grad größer als 3 ist, hat mindestens eine lokale Extremstelle.

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

AHS - 1_039 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Nullstellen einer Polynomfunktion

Wie viele verschiedene reelle Nullstellen kann eine Polynomfunktion 3. Grades haben?

Aufgabenstellung
Veranschaulichen Sie Ihre Lösungsfälle durch jeweils einen möglichen Graphen!

AHS - 1_083 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Polynomfunktion 3. Grades

Gegeben ist die Polynomfunktion 3. Grades \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\text{ mit a}}{\text{,}}\,\,{\text{b}}{\text{,}}\,\,{\text{c}}{\text{,}}\,\,{\text{d}} \in \mathbb{R}{\text{ und }}a \ne 0\)

Wie viele reelle Nullstellen kann diese Funktion besitzen?

• Aussage 1: keine
• Aussage 2: mindestens eine
• Aussage 3: höchstens drei
• Aussage 4: genau vier
• Aussage 5: unendlich viele