BMBWF - AN 3.1 .. AN 3.3: Ableitungsfunktionen / Stammfunktionen
Aufgabe 1180
AHS - 1_180 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstumsgeschwindigkeit
Das Wachstum einer Bakterienkultur wird durch eine Funktion N beschrieben. Dabei gibt N(t) die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t (t in Stunden) an .
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Wenn _____1_____ positiv sind, erfolgt das Bakterienwachstum im Intervall [a; b] ______2______.
1 | |
die Funktionswerte N(t) für t ∈ [a; b] | A |
die Funktionswerte N‘(t) für t ∈ [a; b] | B |
die Funktionswerte N‘‘(t) für t ∈ [a; b] | C |
2 | |
immer schneller | I |
immer langsamer | II |
gleich schnell | III |
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Aufgabe 1181
AHS - 1_181 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sprungschanze
In der nachstehenden Abbildung ist der Längsschnitt einer Skisprungschanze samt Aufsprungbahn und Auslauf dargestellt.
In einem Koordinatensystem mit horizontaler x-Achse sei der Längsschnitt der Aufsprungbahn der Graph der Funktion a. Die steilste Stelle der Aufsprungbahn befindet sich am K-Punkt.
- Aussage 1: Am K-Punkt gilt: \(a''\left( x \right) < 0\) .
- Aussage 2: Der K-Punkt ist Wendepunkt der Funktion a.
- Aussage 3: Der K-Punkt ist ein Extrempunkt mit \(a'\left( x \right) = 0\) .
- Aussage 4: Der K-Punkt ist ein Sattelpunkt.
- Aussage 5: Am K-Punkt ändert sich die Krümmung des Graphen der Funktion a.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1182
AHS - 1_182 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsfunktionen
Die nachstehenden Abbildungen zeigen die Graphen von drei Funktionen f1, f2, f3 im Intervall [0; 160].
- Aussage 1: Die Funktionswerte von f1‘ sind im Intervall [0; 160] negativ.
- Aussage 2: Der Wert des Differenzialquotienten von f3 wächst im Intervall [0; 160] mit wachsendem x.
- Aussage 3: Die Funktion f2‘‘ hat im Intervall (0; 160) genau eine Nullstelle.
- Aussage 4: Die Funktionswerte von f3‘‘ sind im Intervall [0; 160] negativ.
- Aussage 5: Die Funktion f1‘ ist im Intervall [0; 160] streng monoton fallend.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1226
AHS - 1_226 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lokale Eigenschaften einer Funktion
Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Die eingezeichneten Punkte A, B, C, D, E, F, G, H und I liegen auf dem Funktionsgraphen; weiters sind die Tangenten in A, C, E und G eingetragen; in B, D, H und I ist die Tangente horizontal (waagrecht).
A | Punkt A |
B | Punkt B |
C | Punkt C |
D | Punkt D |
E | Punkt E |
F | Punkt F |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den angegebenen Eigenschaften jeweils einen der markierten Punkte (aus A bis F) zu!
Deine Antwort | |
\(f\left( x \right) > 0;\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = 0;\,\,\,\,\,f''\left( x \right) < 0\) | |
\(f\left( x \right) > 0;\,\,\,\,\,f'\left( x \right) > 0;\,\,\,\,\,f''\left( x \right) = 0\) | |
\(f\left( x \right) = 0;\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = 0;\,\,\,\,\,f''\left( x \right) > 0\) | |
\(f\left( x \right) > 0;\,\,\,\,\,f'\left( x \right) < 0;\,\,\,\,\,f''\left( x \right) > 0\) |
Aufgabe 1300
AHS - 1_300 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zweite Ableitung einer Funktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion f‘‘ einer Polynomfunktion f dargestellt:
- Aussage 1: Die Funktion f hat im Intervall [–1; 1] eine Nullstelle.
- Aussage 2: Die Funktion f hat im Intervall [–1; 1] eine lokale Extremstelle.
- Aussage 3: Die Funktion f hat im Intervall [–1; 1] eine Wendestelle.
- Aussage 4: Die Funktion f ist im Intervall [–1; 1] streng monoton steigend.
- Aussage 5: Die Funktion f ändert im Intervall [–1; 1] ihr Monotonieverhalten.
- Aussage 6: Der Graph der Funktion f ist im Intervall [–1; 1] rechts gekrümmt (negativ gekrümmt).
Aufgabenstellung:
Welche Aussage lässt sich aus dieser Information eindeutig schließen? Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an!
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Aufgabe 1311
AHS - 1_311 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kostenkehre
In einem Betrieb können die Kosten zur Herstellung eines Produkts in einem bestimmten Intervall näherungsweise durch die Funktion K mit der Gleichung \(K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\) mit \(a,b,c,d \in {\Bbb R}\) und a > 0 beschrieben werden \(\left( {K\left( x \right){\text{ in € }}{\text{, x in mg}}} \right)\)
Aufgabenstellung
Begründen Sie, warum es bei dieser Modellierung durch eine Polynomfunktion dritten Grades genau eine Stelle gibt, bei der die Funktion von einem degressiven Kostenverlauf in einen progressiven Kostenverlauf übergeht!
Aufgabe 1312
AHS - 1_312 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Polynomfunktion
Eine Polynomfunktion dritten Grades f hat die Gleichung \(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\) mit \(a,b,c,d \in {\Bbb R}\) und \(a \ne 0\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Die Funktion f besitzt genau eine ______1____ , weil es genau ein \(x \in {\Bbb R}\) gibt, für das _______2______ gilt.
1 | |
Nullstelle | A |
lokale Extremstelle | B |
Wendestelle | C |
\(f\left( x \right) = 0{\text{ und }}f'\left( x \right) \ne 0\) | I |
\(f'\left( x \right) = 0{\text{ und }}f''\left( x \right) = 0\) | II |
\(f''\left( x \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( x \right) \ne 0\) | III |