Fundamentalsatz der Algebra (komplexe Zahlen)
Im Bereich der komplexen Zahlen besitzt jedes Polynom n-ten Grades genau n Lösungen.
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Formeln
Grad einer Funktion
Polynomfunktionen, auch ganzrationale Funktionen genannt, bestehen aus einer Summe bzw. Differenz von Termen, den sogenannten Gliedern. Diese Glieder sind ihrerseits das Produkt aus einer Zahl und einer Potenz, etwa 2x². Zur besseren Lesbarkeit werden die Glieder geordnet nach der Höhe ihrer Exponenten angeschrieben. Der höchste vorkommende Exponent der Variablen, gibt zugleich den Grad der Polynomfunktion an. So handelt es sich bei 2x²+x um eine Polynomfunktion zweiten Grades.
Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über deren Graph herleiten:
- Eine konstante Funktion, die nicht konstant null ist, hat den Grad 0. Ihr Graph ist eine horizontale Gerade.
- Eine lineare Funktion hat den Grad 1. Ihr Graph ist eine steigende oder fallende Gerade.
- Eine quadratische Funktion hat den Grad 2. Ihr Graph ist eine Parabel.
- Eine kubische Funktion hat den Grad 3. Ihr Graph weist einen s-förmigen Verlauf auf.
- Eine Polynomfunktion vom 4. Grad kann einen w-förmigen Verlauf haben.
Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über besondere Funktionswerte herleiten:
- Der Grad einer Funktion ist gleich der maximalen Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Vergleiche dazu den „Fundamentalsatz der Algebra“, welcher für den Bereich der komplexe Zahlen gilt.
- Grad einer Funktion minus 1, ergibt die maximale Anzahl der Extremstellen.
- Grad einer Funktion minus 2, ergibt die maximale Anzahl der Wendestellen.
-
Wenn der höchste Exponent der Funktion gerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte das gleiche Vorzeichen haben.
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Wenn der höchste Exponent der Funktion ungerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte unterschiedliche Vorzeichen haben.
Graphen von Funkionen unterschiedlichen Grades
Die Beschriftung vom Graph der jeweiligen Funktion erfolgt einmal in der Polynomform und einmal in der Linearfaktordarstellung, in der man die Nullstellen der Funktion sofort ablesen kann, indem man dasjenige x bestimmt, für das der Wert der jeweiligen Klammer zu Null wird:
Funktion vom 0. Grad: Konstante Funktion
Funktion vom 1. Grad: Gerade, ob sie steigt oder fällt hängt vom Parameter vor der linearen Variable ab
Funktion vom 2. Grad: Parabel
Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von links unten nach rechts oben
Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von rechts oben nach links unten
Funktion vom 4. Grad: W-förmiger Kurvenverlauf
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Fundamentalsatz der Algebra (komplexe Zahlen)
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede ganze rationale Funktion y=pn(x) genau n reelle oder komplexe Nullstellen besitzt, wobei k-fache Nullstellen auch k-fach gezählt werden. Fallen mehrere Nullstellen zusammen, so spricht man von der Vielfachheit der Nullstelle bzw. von k-fachen Nullstellen. Sind alle Koeffizienten a des Polynoms reell, so sind die entsprechenden Nullstellen entweder reell und / oder paarweise konjugiert komplex.
\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = {a_n} \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right) \cdot {\text{Restglied}} \cr} \)
Es handelt sich dabei um einen reinen Existenzsatz. Explizite Lösungsformeln gibt es etwa für quadratische Gleichungen mit der abc Formel oder der pq Formel. Durch sogenannte Faktorisierung oder Abspaltung von Linearfaktoren (x-xi) wandelt man die Summendarstellung in eine Produktdarstellung um, bei der die Lösungen der Gleichung bzw. die Nullstellen der Funktion sofort ablesbar sind.
Bezeichnungen von einfachen Polynomen:
Grad | Bezeichnung | allgemeine Schreibweise |
0 | konstant | \({a_0}\) |
1 | linear | \({a_1} \cdot z + {a_0}\) |
2 | quadratisch | \({a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\) |
3 | kubisch | \({a_3} \cdot {z^3} + {a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\) |
4 | quartisch | \({a_4} \cdot {z^4} + {a_3} \cdot {z^3} + {a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\) |
5 | quintisch | \({a_5} \cdot {z^5} + {a_4} \cdot {z^4} + {a_3} \cdot {z^3} + {a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\) |