Einheitsmatrix
Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix (m=n), deren „Diagonal-Elemente“ gleich 1 sind und bei der alle anderen Elemente gleich 0 sind.
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Formeln
Matrix (Plural: Matrizen)
Eine (m·n) Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, von m Zeilen und n Spalten, zwischen großen (runden) Klammern. Die Position der Komponente aik einer Matrix wird mit einem Doppelindex gekennzeichnet. Die Komponente aik steht in der i-ten Zeile und in der k-ten Spalte. Merkregel für die Reihenfolge der Indizes: "Zuerst Zeile - Spalte später"
\(A = \left( {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & {...} & {{a_{1n}}} \cr {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & {...} & {{a_{2n}}} \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr {{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & {...} & {{a_{mn}}} \cr } } \right)\)
Ordnung einer Matrix
Die Ordnung einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl der Zeilen m und der Anzahl der Spalten n. Die Ordnung einer solchen Matrix ist dann m x n. Sie repräsentiert die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems mit m Gleichungen in n Unbekannten
Einzeilige bzw. einspaltige Matrix
Eine einzeilige bzw. einspaltige Matrix stellt einen Zeilen- bzw. Spaltenvektor dar
- Zeilenvektor \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \end{array}} \right){\rm{ bzw}}{\rm{. }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right)\)
- Spaltenvektor \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}\\ {{a_{21}}} \end{array}} \right){\rm{ bzw}}{\rm{. }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}\\ {{a_{22}}} \end{array}} \right)\)
Gleiche Matrizen
Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie in der Anzahl der Zeilen und der Spalten übereinstimmen und auch jede einzelne Komponente gleich ist.
\({a_{ij}} = {b_{ij}}\)
Quadratische Matrix
besitzt die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right)\)
Existiert für eine (quadratische) Matrix A eine inverse Matrix A-1 so nennt man A eine reguläre Matrix, andernfalls nennt man A eine singuläre Matrix.
Hauptdiagonale einer Matrix
Die Komponenten einer Matrix für die m=n gilt, bilden die Hauptdiagonale einer Matrix
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdot & \cdot \\ \cdot &{{a_{22}}}& \cdot \\ \cdot & \cdot &{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)
Diagonalmatrix
Alle Komponenten einer Diagonalmatrix, ausgenommen jene Komponenten die auf der Hauptdiagonalen liegen, sind Null
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&0&0&0\\ 0&{{a_{22}}}&0&0\\ 0&0&{{a_{33}}}&0\\ 0&0&{...}&{{a_{44}}} \end{array}} \right)\)
Symmetrische Matrix
Eine quadratische Matrix heißt symmetrische Matrix, wenn sie bei Spiegelung an der Hauptdiagonale (links oben → rechts unten) in sich selbst übergeht (d.h. unverändert bleibt). In diesem Sonderfall stimmt die Ausgangsmatrix mit ihrer Transponierten überein.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{21}}}&{{a_{31}}}&{{a_{41}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{32}}}&{{a_{42}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{43}}}\\ {{a_{41}}}&{{a_{42}}}&{{a_{43}}}&{{a_{44}}} \end{array}} \right)\)
Nullmatrix
Bei einer Nullmatrix sind sämtliche Komponenten null.
\(A = \left( {\matrix{ 0 & 0 & {...} & 0 \cr 0 & 0 & {...} & 0 \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr 0 & 0 & {...} & 0 \cr } } \right)\)
Einheitsmatrix
Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Diagonalmatrix (m=n), deren „Diagonal-Komponenten“ gleich 1 sind und bei der alle anderen Komponenten gleich 0 sind
\(A = \left( {\matrix{ 1 & 0 & {...} & 0 \cr 0 & 1 & {...} & 0 \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr 0 & 0 & {...} & 1 \cr } } \right)\)
Dreiecksmatrix
Dreiecksmatrizen sind quadratische Matrizen, deren Komponenten entweder oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen nur aus Nullen bestehen.
- Damit, insbesondere auf Grund der vielen Nullen, besitzen sie Eigenschaften, die es einfach machen, mit ihnen zu rechnen.
- Jede quadratische Matrix kann mittels einer Permutationsmatrix in das Produkt zweier Dreicksmatrizen zerlegt werden.
- Sind sie invertierbar und die zugehörigen linearen Gleichungssysteme haben genau eine Lösung.
- Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt jener Komponenten, die auf der Hauptdiagonalen liegen
\({A_{oben}} = {A_{unten}} = \det {A_{oben}} = \det {A_{unten}} = \prod\limits_i {{a_{ii}}} \)
obere Dreiecksmatrix
Bei einer oberen Dreiecksmatrix sind alle Komponenten die unterhalb der Hauptdiagonalen liegen null \({a_{mn}} = 0{\text{ für }}m > n\)
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ 0&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ 0&0&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)
untere Dreiecksmatrix
Bei einer unteren Dreiecksmatrix sind alle Komponenten die oberhalb der Hauptdiagonalen liegen null \({a_{mn}} = 0{\text{ für }}n > m\)
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&0&0\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&0\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)
Inverse Matrix
Eine inverse Matrix A-1 liegt vor, wenn das Produkt einer Matrix A mit mit einer anderen Matrix A-1 die Einheitsmatrix I ergibt
\(A \cdot {A^{ - 1}} = {A^{ - 1}} \cdot A = I\)
- Eine inverse Matrix ist nur für quadratische Matrizen definiert. Es existiert aber nicht für jede quadratische Matrix eine inverse Matrix.
- Eine Matrix A heißt invertierbar, falls sie eine inverse Matrix A-1 besitzt. Andernfalls heißt sie singulär.
- Existiert eine inverse Matrix, so ist diese ebenfalls invertierbar. Die Inverse der inversen Matrix ist wieder die Matrix selbst \({\left( {{A^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} = A\)
- Die inverse Matrix der transponierten Matrix entspricht der Transponierten der inversen Matrix \({\left( {{A^T}} \right)^{ - 1}} = {\left( {{A^{ - 1}}} \right)^T}\)
- Wenn A eine inverse Matrix A-1 besitzt, dann ist die Determinante von A auf jeden Fall ungleich Null.
- Die Berechnung der inversen Matrix ist kompliziert. Bei einer 3x3 Matrix muss man 9 lineare Gleichungen in 9 Unbekannten lösen.
Für die Berechnung der inversen Matrix bietet sich das Gauß-Jordan Algorithmus, Adjunkten oder die Cramersche Regel an.
Gauß-Jordan Algorithmus
Der Gauß-Jordan Algorithmus dient zur Berechnung der inversen Matrix A-1 zu einer gegebenen Matrix A
- Man schreibt wie folgt an: \(A \cdot {A^{ - 1}} = E\)
- Man bildet die Blockmatrix \(\left( {A\left| E \right.} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right|\)
- Anschließend formt man den linken Block der Blockmatrix mit Hilfe vom Gauß-Jordan Algorithmus so um, dass aus der Matrix A die Einheitsmatrix E wird wobei der rechte Block zur inversen Matrix A-1 wird, gemäß \(\left( {E\left| {{A^{ - 1}}} \right.} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}^{ - 1}}&{{a_{12}}^{ - 1}}&{{a_{13}}^{ - 1}}\\ {{a_{21}}^{ - 1}}&{{a_{22}}^{ - 1}}&{{a_{23}}^{ - 1}}\\ {{a_{31}}^{ - 1}}&{{a_{32}}^{ - 1}}&{{a_{33}}^{ - 1}} \end{array}} \right|\)
Transponierte Matrix
Wenn man in einer beliebigen \(m \times n\) Matrix A die Zeilen und die Spalten vertauscht, so erhält man die transponierte oder gespiegelte oder gestürzte \(n \times m\) Matrix AT.
\(\eqalign{ & A = \left( {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & {...} & {{a_{1n}}} \cr {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & {...} & {{a_{2n}}} \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr {{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & {...} & {{a_{mn}}} \cr } } \right) \cr & \cr & {A^T} = \left( {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{21}}} & {...} & {{a_{m1}}} \cr {{a_{12}}} & {{a_{22}}} & {...} & {{a_{m2}}} \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr {{a_{1n}}} & {{a_{2n}}} & {...} & {{a_{mn}}} \cr } } \right) \cr}\)
Aus der 1. Zeile wird also die 1. Spalte, aus der 2. Zeile wird die 2. Spalte usw.
In der Vektorrechnung wird durch Transposition aus einem Zeilenvektor ein Spaltenvektor und umgekehrt.
Transponierte einer transponierten Matrix
Die Transponierte einer transponierten Matrix ist wieder die Ursprungsmatrix.
\({\left( {{A^T}} \right)^T} = A\)
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Aufgaben
Aufgabe 4359
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Speiseeis - Aufgabe B_455
Teil a
Ein Restaurant stellt nach eigener Rezeptur Speiseeis für Nachspeisen her. Aus den 6 Rohstoffen Milch, Obers, Eier, Zucker, Schokolade und Vanille werden die 2 Zwischenprodukte Schokoladeeis und Vanilleeis hergestellt. Die Mengen in Gramm für die Herstellung jeweils einer Portion Eis sind in der nachstehenden Tabelle angegeben.
Schokoladeeis Z1 | Vanilleeis Z2 | |
Milch R1 | 10 | 25 |
Obers R2 | 40 | 30 |
Eier R3 | 20 | 15 |
Zucker R4 | 5 | 10 |
Schokolade R5 | 20 | 0 |
Vanille R6 | 0 | 10 |
Das Schokoladeeis und das Vanilleeis werden für die Nachspeisen Früchtebecher und Bananensplit verwendet. Die dazu jeweils benötigten Eisportionen sind in der nachstehenden Tabelle angegeben.
Früchtebecher E1 | Bananensplit E2 | |
Schokoladeeis Z1 | 2 | 0 |
Vanilleeis Z2 | 1 | 3 |
Die Verflechtung, die den Bedarf an Rohstoffen für jeweils eine Nachspeise angibt, kann durch die Verflechtungsmatrix V beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die Verflechtungsmatrix V.
[1 Punkt]
Das Restaurant benötigt täglich 50 Früchtebecher und 30 Bananensplits.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie denjenigen Vektor, der den täglichen Bedarf an Rohstoffen angibt.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe
Durchsprache vom Leontief Modell - kam so nicht zur Matura !!
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Aufgabe 4515
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Puddingmischungen - Aufgabe B_529
Teil b
Der Produktionsablauf wird verändert. Die quadratische Matrix A beschreibt die Produktionsverflechtungen zwischen den reinen Puddingsorten, den Mischsorten und den Packungen (in der Reihenfolge S, V, M1, M2, K, G).
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{0,18}&{0,11}&0&{0,5} \\ 0&0&{0,7}&{0,14}&0&{0,25} \\ 0&0&0&0&1&4 \\ 0&0&0&0&1&2 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0 \end{array}} \right)\)
Neu dabei sind: a16 = 0,50 und a26 = 0,25.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie diese beiden neuen Verflechtungen im nachstehenden Gozinto-Graphen ein.
[0 / 1 P.]
Der Vektor \(\overrightarrow x \) soll die benötigten Mengen an reinen Puddingsorten, Mischsorten und Packungen (in der Reihenfolge S, V, M1, M2, K, G) beschreiben.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie diesen Vektor\(\overrightarrow x \) für eine Nachfrage von 300 Klein- und 200 Großpackungen.
[0 / 1 P.]
Für eine andere Nachfrage ergibt sich anstelle von \(\overrightarrow x \) der Vektor
\(\overrightarrow {{x_1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {461} \\ {264} \\ {1300} \\ {700} \\ {100} \\ {300} \end{array}} \right)\)
3 . Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie den Eintrag 700 dieses Vektors im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Beschreiben Sie, wie sich eine zusätzliche direkte Nachfrage nach reinem Schokoladepudding im Ausmaß von 100 Litern auf den Vektor x1 auswirkt.
[0 / 1 P.]