Differenzialgleichungen

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417

Teil d
Das Absinken der Sauerstoffaufnahme nach Beendigung einer körperlichen Belastung beim Sport kann mit der folgenden Differenzialgleichung beschrieben werden:

\(\dfrac{{dy}}{{dt}} = - 1,386 \cdot \left( {y - 0,3} \right)\)

mit

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lösen Sie diese Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.
[1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Straßenbau - Aufgabe B_408

Teil a
Zwischen zwei Punkten A und B soll eine Verbindungsstraße errichtet werden. Die nachstehende Abbildung zeigt den Bauplan in einem Koordinatensystem in der Draufsicht (von oben betrachtet).

• Zu Punkt A führt eine Straße, die durch den Graphen der linearen Funktion f dargestellt ist.
• Zu Punkt B führt eine Straße, die durch den Graphen der linearen Funktion g dargestellt ist.

Die neue Straße, die A und B verbindet, soll durch den Graphen einer Polynomfunktion h mit \(h\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\) beschrieben werden. Diese Polynomfunktion soll im Punkt A die gleiche Steigung wie f und im Punkt B die gleiche Steigung wie g haben.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Ermittlung der Koeffizienten dieser Polynomfunktion h.
[2 Punkte]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Koeffizienten von h.
[1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Bewegung eines Bootes - Aufgabe B_074

Teil a

Die Bewegung eines Bootes wird durch folgende Differenzialgleichung beschrieben:
\(m \cdot \dfrac{{dv}}{{dt}} = - k \cdot v\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie mathematisch anhand der Differenzialgleichung, dass die Geschwindigkeit mit zunehmender Zeit t abnimmt.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung.
[1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Wein - Aufgabe B_447

Teil c

Bei der Lagerung in einem Keller hat ein bestimmter Wein eine Temperatur von 10 °C. Der Wein wird in einen Raum mit der Umgebungstemperatur T_U = 20 °C gebracht. Nach 20 min hat der Wein eine Temperatur von 12 °C. Die momentane Änderungsrate der Temperatur des Weines ist direkt proportional zur Differenz zwischen der Umgebungstemperatur T_U und der aktuellen Temperatur T des Weines.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie diejenige Differenzialgleichung auf, die die Temperatur T des Weines während des Erwärmungsprozesses beschreibt. Bezeichnen Sie dabei den Proportionalitätsfaktor mit k.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Berechnen Sie die Lösung der Differenzialgleichung für den gegebenen Erwärmungsprozess.

[2 Punkte]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis der Wein ausgehend von 10 °C eine Temperatur von 15 °C erreicht.

[1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Meerwasser und mehr Wasser - Aufgabe B_509

Teil a

Die Funktion V beschreibt näherungsweise den zeitlichen Verlauf des Wasservolumens eines bestimmten Sees. Dabei wird das Wasservolumen in Kubikmetern und die Zeit t in Tagen angegeben. V erfüllt die folgende Differenzialgleichung:

\(\dfrac{{dV}}{{dt}} = 0,001 \cdot \left( {350 - V} \right){\text{ mit }}V > 0\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Argumentieren Sie anhand der Differenzialgleichung, für welche Werte von V das Wasservolumen dieses Sees gemäß diesem Modell zunimmt.

[0 / 1 P.]

2 Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.

[0 / 1 P.]

Zur Zeit t = 0 betragt das Wasservolumen 150 m³.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die spezielle Lösung der Differenzialgleichung.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Stau – Aufgabe A_321

Teil b

Der Bewegungsvorgang eines bestimmten Autos wird über einen Zeitraum von 6 s betrachtet. In den ersten 3 s nimmt die Geschwindigkeit des Autos zu. In den letzten 3 s nimmt die Geschwindigkeit des Autos ab.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Begründen Sie, warum der nachstehend dargestellte Graph den beschriebenen Bewegungsvorgang nicht zutreffend wiedergibt.

[0 / 1 P.]

Abbildung fehlt

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sinkgeschwindigkeit von Fässern – Aufgabe B_536

Über Jahre hinweg wurden Fässer mit Problemstoffen illegal im Meer versenkt.

Teil a

Für die Sinkgeschwindigkeit v_S der Fässer im Wasser in Abhängigkeit von der Zeit t gilt annähernd:

• Die momentane Änderungsrate der Sinkgeschwindigkeit ist direkt proportional zur Differenz zwischen der Endgeschwindigkeit S und der aktuellen Sinkgeschwindigkeit v_S. Der Proportionalitätsfaktor wird mit k bezeichnet.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie diejenige Gleichung an, die diesen Sachverhalt richtig beschreibt.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]

• Gleichung 1: \(\dfrac{{d{v_S}}}{{dt}} = k \cdot \left( {S - {v_S}} \right)\)
• Gleichung 2: \(\dfrac{{d{v_S}}}{{dt}} = k \cdot S - {v_S}\)
• Gleichung 3: \(\dfrac{{d{v_S}}}{{dt}} = S - k \cdot {v_S}\)
• Gleichung 4: \(\dfrac{{d{v_S}}}{{dt}} = \dfrac{k}{{S - {v_S}}}\)
• Gleichung 5: \(\dfrac{{d{v_S}}}{{dt}} = S - \dfrac{k}{{{v_S}}}\)

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sinkgeschwindigkeit von Fässern – Aufgabe B_536

Über Jahre hinweg wurden Fässer mit Problemstoffen illegal im Meer versenkt.

Teil b

Für bestimmte Fässer kann die Sinkgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit näherungsweise durch die nachstehende Differenzialgleichung beschrieben werden.

\(\dfrac{{dv}}{{dt}} + 0,25 \cdot v = 2\)

• t … Zeit in s
• v(t) … Sinkgeschwindigkeit zur Zeit t in m/s
   

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Zeigen Sie mithilfe der Methode Trennen der Variablen, dass die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung durch

\({v_{h\left( t \right)}} = C \cdot {e^{ - 0,25 \cdot t}}\)

gegeben ist.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der gegebenen inhomogenen Differenzialgleichung.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sedimente – Aufgabe B_543

Sedimente sind in Flüssigkeiten enthaltene Teilchen, die sich unter dem Einfluss der Schwerkraft ablagern.

Teil a

In einer Flüssigkeit sinkt ein Teilchen durch die Schwerkraft ab. Die Sinkgeschwindigkeit v kann modellhaft durch die nachstehende Differenzialgleichung beschrieben werden.

\(\dfrac{{dv}}{{dt}} = 10 - 20 \cdot v\)

• t ... Zeit in s
• v ... Sinkgeschwindigkeit in m/s

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie mithilfe der obigen Differenzialgleichung diejenige Sinkgeschwindigkeit, bei der die Beschleunigung null ist.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.
[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Lösung der Differenzialgleichung mit v(0) = 0,2.
[0 / 1 P.]