Determinante
Die Determinante det A ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen Matrizen (n,n) bilden kann. Für nicht-quadratische Matrizen sind Determinanten nicht definiert.
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Formeln
Zahlen in Listenform
In der Algebra ist es oft zweckmäßig mit Zahlen in Listenform zu arbeiten. Wir fassen nachfolgen kurz die diesbezüglich wichtigsten Listenformen für Zahlen zusammen. Wir verwenden dabei folgende Sprachregelung:
- Elemente: Mengen setzen sich aus Elementen zusammen.
- Koeffizienten eines Gleichungssystems: Koeffizienten sind unveränderliche Zahlen, die als Faktor vor den Variablen einer Gleichung stehen
- Komponenten einer Matrix: Matrizen setzen sich aus Komponenten zusammen. (Obwohl hier leider oft "Element" statt "Komponente" verwendet wird.) Die Komponenten aikder Matrix entsprechen den Koeffizienten aikim linearen Gleichungssystem
- Index der Komponenten einer Matrix: Die Position jeder Komponente in der Matrize wird durch zwei Indizes i (=Zeile) und k (=Spalte) beschrieben.
- Koeffizientenmatrix: Ein lineares Gleichungssystem in n Unbekannten und m Gleichungen lässt sich als Koeffizientenmatrix anschreiben. Die Komponenten aikder Matrix entsprechen den Koeffizienten aikim linearen Gleichungssystem
- Gleichungsmatrix: Die Gleichungsmatrix erweitert die Koeffizientenmatrix um eine weitere Spalte nach rechts. In dieser Spalte werden die Konstanten gemäß der "rechten Seite" vom linearen Gleichungssystem geschrieben.
Menge
Eine Menge stellt die Zusammenfassung von mehreren Elementen zu einer Gesamtheit dar. Man verwendet geschwungene Klammern und separiert die einzelnen Elemente durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Elemente angeschrieben werden spielt keine Rolle. {1,2,3}={3,1,2}}={2,3,1}. Entscheidend ist, ob ein Element Teil der Menge ist oder ob nicht. Das mehrfaches Anschreiben von ein und demselben Element einer Menge ist daher nicht sinnvoll. {1,1,2,2,3,3}={1,2,3}
Zusammenhang: Tupel - Vektor - Matrix - Tensor
Tupel, Vektor, Matrix oder Tensor sind verschieden komplexe Schreibweisen für Objekte, die zu einer Liste, unter Berücksichtigung der Reihenfolge, zusammengefasst wurden. Dadurch unterscheiden sie sich von einer Menge, bei denen es nicht auf die Reihenfolge der Elemente ankommt.
Tupel
Ein Tupel stellt die Zusammenfassung von mehreren Komponenten zu einer Liste dar. Man verwendet runde Klammern und separiert die einzelnen Komponenten durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle. (1,2,3)≠(3,2,1). Das mehrfaches Anschreiben von gleichlautenden Komponenten hat eine Bedeutung. (1,1,2,2,3,3)≠(1,2,3). Jede Komponente im Tupel hat ihren eindeutigen Platz.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\)
- Ein 2er Tupel wird auch geordnetes Paar genannt; z.B.: (x, f(x))
- Ein 3er Tupel wird auch Trippel genannt; z.B.: (x1,y1,z1)
- Ein 4er Tupel wird auch Quadrupel genannt; z.B.: (x1,y1,z1,t1)
Vektor
Vektoren sind eindimensionale Listen von Zahlen, wobei die Komponenten des Vektors in Form von Zeilen- und als Spaltenvektor angeschrieben werden können. Die Gesamtheit der Komponenten eines Vektors (der Klammerausdruck, der den Vektor repräsentiert) entsprechen daher einem Tupel. Die Anzahl der Komponenten eines Vektors stimmt mit der Dimension des Vektors überein. (x1,y1,z1) repräsentiert also einen 3-dimensionalen Vektor. Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle dabei, in welche Richtung der Vektor zeigt
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\)
- an: Die Werte an bezeichnet man als die Komponenten des Vektors.
- n: Also die Anzahl der Komponenten eines Vektors, bezeichnet man als die Dimension des Vektors.
Aus der Geometrie sind uns
- 2-dimeonsionale Vektoren (ebene Geometrie)
- 3-dimensionele Vektoren (räumliche Geometrie) vertraut.
Aus der Physik, speziell der speziellen Relativitätstheorie, sind uns
- 4-dimensionele Tupel vertraut.
- Ihre ersten drei Dimensionen beschreiben den Raum,
- ihre vierte Dimension beschreibt die Zeit.
Matrix
Matrizen sind zweidimensionale Listen von Zahlen. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist eine Matrix der m x n ten Ordnung. Die Komponente aik mit den Indizes ik steht in der i-ten Zeile und in der k-ten Spalte. Auch die Zeilen oder Spalten einer Matrix sind Tupel.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)
Lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise
→ Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbekannten kann mit Hilfe einer Koeffizientenmatrix und zweier Spaltenvektoren angeschrieben werden.
\(\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{12}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{1n}} \cdot {x_n}}& = &{{b_1}}\\ {{a_{21}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{22}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{2n}} \cdot {x_n}}& = &{{b_2}}\\ {...}& + &{...}& + &{...}& + &{...}& = &{...}\\ {{a_{m1}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{m2}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{mn}} \cdot {x_n}}& = &{{b_m}} \end{array}\)
Koeffizientenmatrix
Die Koeffizientenmatrix besteht aus den Koeffizienten des linearen Gleichungssystems. Der 1. Spaltenvektor besteht aus den Komponenten von der Variablen x, während die rechte Seite der Gleichungen den 2. Spaltenvektor bildet.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{12}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{_{m1}}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {...}\\ {{x_m}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}}\\ {...}\\ {{b_m}} \end{array}} \right) \Leftrightarrow A \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow b \)
Wenn die inverse Matrix A-1 existiert, dann kann man nach x wie folgt auflösen: \(\overrightarrow x = {A^{ - 1}} \cdot \overrightarrow b\)
Gleichungsmatrix
Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbekannten kann aber auch mit Hilfe einer sogenannten Gleichungsmatrix angeschrieben werden. Die Gleichungsmatrix erweitert die Koeffizeintenmatrix um eine zusätzliche, durch einen lotrechten Strich abgetrennte Spalte, in der die Konstanten bi der rechten Seite vom zugrunde liegenden linearen Gleichungssystem stehen
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}&{\left| {{b_1}} \right.}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}&{\left| {{b_2}} \right.}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}}&{\left| {{b_m}} \right.} \end{array}} \right)\)
Determinante
Determinanten sind Zahlen(werte) die man (ausschließlich) einer quadratischen Matrix zuordnen kann und die aus deren Komponenten berechnet werden.
Tensor
Ein Tensor ist ein mathematisches Objekt, welches Komponenten hat. Jede Tensorkomponente kann eine Funktion oder eine Zahl sein. Tensoren definieren sich über die Weise, in der ihre Komponenten transformieren.
- Ein Skalar ist ein Tensor der 0. Stufe
- Ein Vektor ist ein Tensor der 1. Stufe
- Eine 3 x 3 Matrix ist ein Tensor der 2. Stufe, dieser besteht also aus 9 Komponenten. Die Komponenten eines Tensors 2. Stufe transformieren
- kontravariant
- kovariant
- gemischt
- Aus der Physik, speziell der allgemeinen Relativitätstheorie, sind uns mehrdimensionale Tupel vertraut.
Geht bei einer Koordinatentransformation die Komponente \({x^a}\) in \({x^{a'}}\) über gemäß
-
kontravariante \({T^{a'b'}} = \dfrac{{\partial {x^{a'}}}}{{\partial {x^a}}}\dfrac{{\partial {x^{b'}}}}{{\partial {x^b}}}{T^{ab}}\)
-
kovariante \({T_{a'b'}} = \dfrac{{\partial {x^a}}}{{\partial {x^{a'}}}}\dfrac{{\partial {x^b}}}{{\partial {x^{b'}}}}{T_{ab}}\)
-
gemischte \({T^{a'}}_{b'} = \dfrac{{\partial {x^{a'}}}}{{\partial {x^a}}}\dfrac{{\partial {x^b}}}{{\partial {x^{b'}}}}{T^a}_b\)
so ist T ein Tensor 2. Stufe.
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Determinante
Die Determinante det A ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen Matrizen (n,n) bilden kann. Für nicht-quadratische Matrizen sind Determinanten nicht definiert.
\(\det A = \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}.{a_{22}} - {a_{12}}.{a_{21}}\)
- Eine Determinante hat den Wert Null, wenn
- eine Zeile bzw. eine Spalte ausschließlich aus Nullen besteht
- zwei Zeilen bzw. zwei Spalten eine Linearkombination anderer Zeilen oder Spalten sind, bzw. im einfachsten Fall ident sind
- Vertauscht man 2 benachbarte Zeilen oder Spalten einer Determinante, so ändert sich das Vorzeichen vom Wert der Determinante
- Eine Matrix A und die zugehörige transponierte Matrix AT haben dieselbe Determinante \(\det A = \det {A^T}\)
- Die Cramer‘sche Regel (Determinantenmethode) ist ein Verfahren um Systeme von n-linearen Gleichungen mit n Variablen zu lösen. Mit ihrer Hilfe kann man auch feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem überhaupt eindeutig lösbar ist, was nicht zwangsweise der Fall sein muss.
Determinante 2. Ordnung bzw. Determinante einer 2x2 Matrix
Die Determinante 2. Ordnung ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen 2x2 Matrizen bilden kann. Merkregel: "links oben mal rechts unten minus rechts oben mal links unten"
\(\begin{array}{l} {A_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = \\ = {a_{11}}.{a_{22}} - {a_{12}}.{a_{21}} \end{array}\)
Determinante 3. Ordnung bzw. Determinante einer 3x3 Matrix - Regel von Sarrus
Die Determinante 3. Ordnung ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen 3x3 Matrizen bilden kann. Um den Zahlenwert der Determinante zu berechnen, bedient man sich der Regel von Sarrus
- Man schreibt die 1. und die 2. Spalte rechts neben der Determinante nochmals an
- Man bildet die 3 Summen der Produkte entlang der 3 Hauptdiagonalen (links oben nach rechts unten)
- Davon subtrahiert man die 3 Summen der Produkte entlang der 3 Nebendiagonalen(rechts oben nach links unten)
- Die Regel von Sarrus kann man nicht für Determinanten vom Grad >3 anwenden. Man muss dann den Laplace'schen Entwicklungssatz oder den Gauß Algorithmus anwenden.
\(\begin{array}{l} {A_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{l}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}} \end{array} = \\ = {a_{11}}.{a_{22}}.{a_{33}} + {a_{12}}.{a_{23}}.{a_{31}} + {a_{13}}.{a_{21}}.{a_{32}} - \\ - \left( {{a_{13}}.{a_{22}}.{a_{31}} + {a_{11}}.{a_{23}}.{a_{32}} + {a_{12}}.{a_{21}}{a_{33}}} \right) \end{array}\)
Determinante n-ter Ordnung bzw. Determinante einer \(n \times n\) Matrix
Den Wert einer nxn Determinante kann man allgemein, also für jedes n, wie folgt berechnen:
\(\det A = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}} \cdot {\left( { - 1} \right)^{i + k}} \cdot \det {A_{ik}}\)
Ausgeschrieben sieht das dann am Beispiel einer 4x4 Matrix wie folgt aus:
\(\begin{array}{l} \det A = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}} \cdot {\left( { - 1} \right)^{i + k}} \cdot \det {A_{ik}}\\ A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&c&d\\ e&f&g&h\\ i&j&k&l\\ m&n&o&p \end{array}} \right| = \\ = a \cdot {\left( { - 1} \right)^{1 + 1}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot &f&g&h\\ \cdot &j&k&l\\ \cdot &n&o&p \end{array}} \right| + b \cdot {\left( { - 1} \right)^{1 + 2}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ e& \cdot &g&h\\ i& \cdot &k&l\\ m& \cdot &o&p \end{array}} \right| + c \cdot {\left( { - 1} \right)^{1 + 3}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ e&f& \cdot &h\\ i&j& \cdot &l\\ m&n& \cdot &p \end{array}} \right| + d \cdot {\left( { - 1} \right)^{1 + 4}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ e&f&g& \cdot \\ i&j&k& \cdot \\ m&n&o& \cdot \end{array}} \right| = \\ = a \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} f&g&h\\ j&k&l\\ n&o&p \end{array}} \right| - b \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} e&g&h\\ i&k&l\\ m&o&p \end{array}} \right| + c \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} e&f&h\\ i&j&l\\ m&n&p \end{array}} \right| - d \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} e&f&g\\ i&j&k\\ m&n&o \end{array}} \right| \end{array}\)
Den Wert einer Determinante kann man auch mit Hilfe vom Laplace' scher Entwicklungssatz (für kleine n) oder mit Hilfe vom Gaußverfahren für Determinanten (für große n) berechnen:
Laplace' scher Entwicklungssatz für Determinanten (für kleine n)
Beim Laplace'schen Entwicklungssatz reduziert man schrittweise den Grad der zu berechnenden Determinante um 1, bis letztlich eine 3x3 Matrix übrig bleibt, die man gemäß der Regel von Sarrus berechnet. Man entwickelt dabei nach jener Zeile oder Spalte, welche die meisten Nullen enthält. Der Wert der Determinante ist natürlich unabhängig von der Auswahl der Zeile bzw. der Spalte nach der man entwickelt hat.
Entwicklung nach einer Zeile, wobei i ein beliebiger Zeilenindex ist, gemäß
\(\begin{array}{l} \det A = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{{\left( { - 1} \right)}^{i + k}}} \det {A_{ik}} = \\ = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}} \cdot {C_{ik}}} = \\ {a_{i1}} \cdot {C_{i1}} + {a_{i2}} \cdot {C_{i2}} + ... + {a_{in}} \cdot {C_{in}} \end{array}\)
Aik ist die um einen Grad reduzierte Matrix, die entsteht, wenn in der Matrix A die i-te Zeile und die k-te Spalte gestrichen wird.
Der Term \({\left( { - 1} \right)^{i + k}}\) sorgt für den zyklischen Vorzeichenwechsel. i ist ein beliebiger Zeilenindex und Aik ist die Matrix die entsteht, wenn man in der Matrix A die i-te Zeile und die k-te Spalte streicht.
Entwicklung nach einer Spalte, wobei j ein beliebiger Spaltenindes ist, gemäß
\(\begin{array}{l} \det A = \sum\limits_{l = 1}^n {{a_{lj}}{{\left( { - 1} \right)}^{l + j}}} \det {A_{lj}} = \\ = \sum\limits_{l = 1}^n {{a_{lj}} \cdot {C_{lj}} = } \\ = {a_{1j}} \cdot {C_{1j}} + {a_{2j}} \cdot {C_{2j}} + ... + {a_{nj}} \cdot {C_{nj}} \end{array}\)
Alj ist die um einen Grad reduzierte Matrix die entsteht, wenn in der Matrix A die l-te Zeile und die j-te Spalte gestrichen wird.
Cik bzw. Clj bezeichnet man als Co-Faktor, der sich wie folgt durch streichen der i-ten Zele und der j-ten Spalte berechnet
\({C_{ij}} = {\left( { - 1} \right)^{i + j}}\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_{11}}}&{...}&{{a_{a,j - 1}}}&{streichen}&{{a_{1,j + 1}}}&{...}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{...}&{{a_{2,j - 1}}}&{streichen}&{{a_{2,j + 1}}}&{...}&{}\\ {...}&{...}&{...}&{streichen}&{}&{...}&{}\\ {streichen}&{streichen}&{streichen}&{streichen}&{streichen}&{streichen}&{}\\ {...}&{...}&{...}&{streichen}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{n1}}}&{}&{{a_{n,j - 1}}}&{streichen}&{{a_{n,j + 1}}}&{...}&{{a_{nn}}} \end{array}} \right|\)
Gaußverfahren für Determinanten (für große n)
Erklärung folgt zu einem späteren Zeitpunkt