Aufgabe 1470
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vergleich zweier Konfidenzintervalle
Auf der Grundlage einer Zufallsstichprobe der Größe n1 gibt ein Meinungsforschungsinstitut für den aktuellen Stimmenanteil einer politischen Partei das Konfidenzintervall [0,23; 0,29] an. Das zugehörige Konfidenzniveau (die zugehörige Sicherheit) beträgt γ1. Ein anderes Institut befragt n2 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte und gibt als entsprechendes Konfidenzintervall mit dem Konfidenzniveau (der zugehörigen Sicherheit) γ2 das Intervall [0,24; 0,28] an. Dabei verwenden beide Institute dieselbe Berechnungsmethode.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
- Unter der Annahme von n1 = n2 kann man aus den Angaben ___1___ folgern;
- Unter der Annahme von γ1 = γ2 kann man aus den Angaben ___2___ folgern.
1 | |
\({\gamma _1} < {\gamma _2}\) | A |
\({\gamma _1} = {\gamma _2}\) | B |
\({\gamma _1} > {\gamma _2}\) | C |
2 | |
\({n_1} < {n_2}\) | I |
\({n_1} = {n_2}\) | II |
\({n_1} > {n_2}\) | III |
Lösungsweg
Bei der Ermittlung statistischer Parameter prüft man selten alle möglichen Ergebnisse, sondern man beschränkt sich auf eine Stichprobe. Dadurch ist die Messung aber Ungenauigkeiten unterworfen. Konfidenzintervalle definieren einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert darin befindet.
n | Umfang der Stichprobe |
\(\gamma\) | Konfidenz- bzw. Vertrauensniveau |
- Unter der Annahme von n1 = n2 kann man aus den Angaben \({\gamma _1} > {\gamma _2}\) folgern, also ist Antwort "C" richtig. Begründung: Wenn bei gleichem Stichprobenumfang (n1 = n2) für die Konfidenzintervalle [0,23; 0,29] > [0,24; 0,28] gilt und weil es wahrscheinlicher ist, den wahren Wert im breiteren Intervall zu finden, so muss für die zugehörigen Konfidenzniveaus gelten: \({\gamma _1} > {\gamma _2}\)
- Unter der Annahme von \({\gamma _1} = {\gamma _2}\) kann man aus den Angeben \({n_1} < {n_2}\) folgern, also ist Antwort "I" richtig. Begründung: Wenn sich bei gleichem Konfidenzniveau \({\gamma _1} = {\gamma _2}\) das Konfidenzintervalle von [0,23; 0,29] auf [0,24; 0,28] verkleinert, dann muss der Stichprobenumfang größer geworden sein, also muss \({n_1} < {n_2}\) gelten.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Unter der Annahme von n1 = n2 kann man aus den Angaben \({\gamma _1} > {\gamma _2}\) folgern, also ist Antwort "C" richtig.
- Unter der Annahme von \({\gamma _1} = {\gamma _2}\) kann man aus den Angeben \({n_1} < {n_2}\) folgern, also ist Antwort "I" richtig.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der richtige Satzteil angekreuzt ist.