Aufgabe 1446
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Breite eines Konfidenzintervalls
Bei einer Meinungsbefragung wurden 500 zufällig ausgewählte Bewohner/innen einer Stadt zu ihrer Meinung bezüglich der Einrichtung einer Fußgängerzone im Stadtzentrum befragt. Es sprachen sich 60 % der Befragten für die Einrichtung einer solchen Fußgängerzone aus, 40 % sprachen sich dagegen aus.
Als 95-%-Konfidenzintervall für den Anteil der Bewohner/innen dieser Stadt, die die Einrichtung einer Fußgängerzone im Stadtzentrum befürworten, erhalt man mit Normalapproximation das Intervall [55,7 %; 64,3 %].
- Aussage 1: Das Konfidenzintervall wäre breiter, wenn man einen größeren Stichprobenumfang gewählt hatte und der relative Anteil der Befürworter/innen gleich groß geblieben wäre.
- Aussage 2: Das Konfidenzintervall wäre breiter, wenn man ein höheres Konfidenzniveau (eine höhere Sicherheit) gewählt hatte.
- Aussage 3: Das Konfidenzintervall wäre breiter, wenn man die Befragung in einer größeren Stadt durchgeführt hatte.
- Aussage 4: Das Konfidenzintervall wäre breiter, wenn der Anteil der Befürworter/innen in der Stichprobe großer gewesen wäre.
- Aussage 5: Das Konfidenzintervall wäre breiter, wenn der Anteil der Befürworter/innen und der Anteil der Gegner/innen in der Stichprobe gleich groß gewesen waren.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
Bei der Ermittlung statistischer Parameter prüft man selten alle möglichen Ergebnisse, sondern man beschränkt sich auf eine Stichprobe. Dadurch ist die Messung aber Ungenauigkeiten unterworfen. Konfidenzintervalle definieren einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert darin befindet.
Vereinfachte Merksätze:
- Größere Stichprobe ergibt ein schmäleres Konfidenzintervall (Hochrechnung bei Wahlen: höherer Auszählungsgrad → geringere Schwankungsbreite).
- Größere Sicherheit (höheres Konfidenzniveau = höherer Prozentsatz beim Konfidenzintervall) bedeutet breiteres Konfidenzintervall.
- Je näher der Prozentsatz an der 50 % Grenze liegt, umso breiter wird das Konfidenzintervall. Das heißt je deutlicher Zustimmung bzw. Ablehnung sind, umso schmäler wird das Konfidenzintervall.
- Aussage 1: Falsch, weil das Konfidenzintervall schmäler wird, wenn die Stichprobe größer wird. (Siehe Merksatz 1)
- Aussage 2: Richtig, weil der tatsächliche Mittelwert mit einer höheren Wahrscheinlichkeit im Konfidenzintervall liegen würde. Das ist allerdings nur dann möglich, wenn auch das Konfidenzintervall [U; V] breiter wird. (Siehe Merksatz 2)
- Aussage 3: Falsch, weil das Konfidenzintervall nicht in einem Zusammenhang mit der Größe der zur Verfügung stehenden Gesamtmenge steht. Auch in einer großen Stadt können nur wenige Personen befragt werden. Wichtig ist ausschließlich die Größe der Stichprobe.
- Aussage 4: Falsch, weil das Konfidenzintervall kleiner wird je größer der Anteil Befürworter/innen gewesen wäre. Dies ist eine Konsequenz daraus, dass die Standardabweichung s sinkt. (Siehe Merksatz 3)
- Aussage 5: Richtig, weil das Konfidenzintervall größer wird, umso ausgeglichener der Anteil an Befürworter/innen und Gegner/innen ist. Dies ist eine Konsequenz daraus, das dabei die Standardabweichung s ansteigt (selbes Argument wie in der Aussage zuvor). (Siehe Merksatz 3)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden richtigen Aussagen angekreuzt sind.