Aufgabe 1375
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erwartungswert
Die nachstehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen X, bei der jedem Wert k (k = 1, 2, 3, 4, 5) die Wahrscheinlichkeit P(X = k) zugeordnet wird.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Erwartungswert E(X) der Zufallsvariablen X!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten x1, x2, ..., xk - z.B. binomialverteilte Zufallsvariable:
\(E(X) = \sum\limits_{i = 1}^k {{x_i} \cdot P(X = {x_i}} )\)
Wir können zur Veranschaulichung nachfolgende Tabelle erstellen:
xi | P(X=xi) |
1 | 0,1 |
2 | 0,3 |
3 | 0,4 |
4 | 0,1 |
5 | 0,1 |
0,1+0,3+0,4+0,1+0,1=1 bzw 100% |
Somit ergibt sich für den Erwartungswert:
\(E\left( X \right) = 1 \cdot 0,1 + 2 \cdot 0,3 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,1 + 5 \cdot 0,1 = 2,8\)
Dieser Erwartungswert entspricht einem gewichteten arithmetischen Mittel, dazu passt, dass der Erwartungswert etwas kleiner als der häufigste Wert (3) ist.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
E(X)=2,8
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede der angeführten Schreibweisen (als Bruch oder Dezimalzahl) ist als richtig zu werten.