Aufgabe 1328
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Hausübungskontrolle
Eine Lehrerin wählt am Beginn der Mathematikstunde nach dem Zufallsprinzip 3 Schuler/innen aus, die an der Tafel die Lösungsansatze der Hausübungsaufgaben erklären müssen. Es sind 12 Burschen und 8 Mädchen anwesend.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass für das Erklären der Lösungsansatze 2 Burschen und 1 Mädchen ausgewählt werden!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Lösungsweg
Wir stellen folgende Überlegungen an:
- Die Wahrscheinlichkeit einen Burschen (Günstige = 12) aus 20 Schülern (Mögliche = 20) aufzurufen beträgt \(P\left( {{\text{Bub}}} \right) = \dfrac{{12}}{{20}}\). Dieser Bursch wird kein zweites Mal gewählt, es verbleiben somit 11 Burschen und 8 Mädchen.
- Die Wahrscheinlichkeit nun ein Mädchen aufzurufen beträgt somit \(P\left( {Mädchen} \right) = \dfrac{8}{{19}}\). Es verbleiben somit 11 Burschen und 7 Mädchen.
- Die Wahrscheinlichkeit nun wieder einen Burschen aufzurufen beträgt \(P\left( {{\text{Bub}}} \right) = \dfrac{{11}}{{18}}\)
(Bub → Mädchen → Bub) ist natürlich nicht die einzige Reihenfolge in der die Lehrerin 2 Burschen und 1 Mädchen aufrufen kann. Es wären noch 2 weitere Reihenfolgen möglich: (Bub → Bub → Mädchen) und (Mädchen → Bub → Bub), wie folgende Visualisierung mittels Baumdiagramm zeigt:
Pfadregeln bei der Lösung von Aufgaben mittels Baumdiagramm
- Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch einen Pfad dargestellt wird, ist gleich dem Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.
- Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch mehrere Pfade dargestellt wird, ist gleich der Summe aller zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten
→ Unter Anwendung der Produkt- und der Summenregel können wir wie folgt anschreiben:
\(\eqalign{ & P\left( {2 \cdot {\text{Bub}} + 1 \cdot {\text{Mädchen}}} \right) = \cr & = \left( {\dfrac{{12}}{{20}} \cdot \frac{{11}}{{19}} \cdot \dfrac{8}{{18}}} \right) + \left( {\dfrac{{12}}{{20}} \cdot \dfrac{8}{{19}} \cdot \frac{{11}}{{18}}} \right) + \left( {\dfrac{8}{{20}} \cdot \frac{{12}}{{19}} \cdot \dfrac{{11}}{{18}}} \right) = \cr & = \dfrac{{12 \cdot 11 \cdot 8}}{{20 \cdot 19 \cdot 18}} + \dfrac{{12 \cdot 11 \cdot 8}}{{20 \cdot 19 \cdot 18}} + \dfrac{{12 \cdot 11 \cdot 8}}{{20 \cdot 19 \cdot 18}} = \left( {\dfrac{{12 \cdot 11 \cdot 8}}{{20 \cdot 19 \cdot 18}}} \right) \cdot 3 = \dfrac{{44}}{{95}} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(P\left( {2 \cdot {\text{Bub}} + 1 \cdot {\text{Madchen}}} \right) = \left( {\dfrac{{12 \cdot 11 \cdot 8}}{{20 \cdot 19 \cdot 18}}} \right) \cdot 3 = \dfrac{{44}}{{95}}\)
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall: [0,46; 0,47] bzw. [46 %; 47 %].
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede der angeführten Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozenten) ist als richtig zu werten. Sollte als Lösungsmethode die hypergeometrische Verteilung gewählt werden, ist dies auch als richtig zu werten: \(P\left( E \right) = \dfrac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12}\\ 2 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 1 \end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20}\\ 3 \end{array}} \right)}}\)