Aufgabe 1326
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Multiple-Choice-Antwort
Bei einer schriftlichen Prüfung werden der Kandidatin/dem Kandidaten fünf Fragen mit je vier Antwortmöglichkeiten vorgelegt. Genau eine der Antworten ist jeweils richtig.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kandidatin/der Kandidat bei zufälligem Ankreuzen mindestens viermal die richtige Antwort kennzeichnet!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Lösungsweg
Es handelt sich um eine Binomialverteilung. Das ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Antwort richtig oder falsch.
- n=5, weil es fünf Fragen gibt.
- p=1/4=0,25 weil es 4 Antwortmöglichkeiten gibt, von denen genau eine richtig ist.
- (1-p)=0,75
- mindestens 4 richtige Antworten bei 5 Fragen bedeutet: k=4,5
Die Formel für "genau k Treffer" lautet:
\(P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\)
Somit:
\(\begin{array}{l} P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\\ \\ P\left( {X = 4} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right) \cdot {0,25^4} \cdot {0,75^1} = \dfrac{{15}}{{1024}}\\ P\left( {X = 5} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 5 \end{array}} \right) \cdot {0,25^5} \cdot {0,75^0} = \dfrac{1}{{1024}}\\ \\ P\left( {X \ge 4} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right) \cdot {0,25^4} \cdot 0,75 + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 5 \end{array}} \right) \cdot {0,25^5} = \dfrac{{15 + 1}}{{1024}} = \dfrac{1}{{64}} \buildrel \wedge \over = 1,56\% \end{array}\)
Falls jemand Zwischenergebnisse benötigt:
\(\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right) = \dfrac{{5!}}{{4! \cdot 1!}} = 5\\ {\rm{Geogebra:}}\,\,\,\,\,{\rm{BinomialKoeffizient[5}}{\rm{, 4]}}\\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 5 \end{array}} \right) = \dfrac{{5!}}{{5! \cdot 0!}} = 1\\ {\rm{Geogebra:}}\,\,\,\,\,{\rm{BinomialKoeffizient[5}}{\rm{, 5]}}\\ \\ P\left( {X \ge 4} \right) = 5 \cdot {0,25^4} \cdot 0,75 + {0,25^5} = 0,0146 + + 0,001 = 0,0156 \buildrel \wedge \over = 1,56\% \end{array}\)
Die Berechnung kann auch vollständig direkt mittels Technologieeinsatz erfolgen: GeoGebra
- Binomial( <Anzahl der Versuche>, <Erfolgswahrscheinlichkeit>, <Anzahl der Erfolge>, <Wahrheitswert Verteilungsfunktion> )
- Sei X eine Binomial-Zufallsvariable und sei v die Anzahl der Erfolge.
- Berechnet P( X = v), wenn der Wahrheitswert false ist.
- Berechnet P( X ≤ v), wenn der Wahrheitswert true ist.
- \(P\left( {X = 4} \right)\): Binomial(5, 0.25, 4, false)=0,01465
- \(P\left( {X = 5} \right)\): Binomial(5, 0.25, 5, false)=0,00098
- \(P\left( {X \ge 4} \right) = 1 - P\left( {X \le 3} \right)\): 1 - Binomial(5, 0.25, 3, true)=0,01563 → 1,563%
Ergebnis
Die richtige Antwort lautet:
\(P(X \ge 4 = 1,56\% \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede der angeführten Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozenten) ist als richtig zu werten. Toleranzintervall: [0,015; 0,02] bzw. [1,5 %; 2 %].