Aufgabe 1816
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbwertszeit
Das radioaktive Isotop 137Cs (Cäsium) hat eine Halbwertszeit von etwa 30 Jahren. Die Funktion f gibt in Abhängigkeit von der Zeit t an, wie viel Prozent der Ausgangsmenge an 137Cs noch vorhanden sind (t in Jahren, f(t) in % der Ausgangsmenge). Die zum Zeitpunkt t = 0 vorhandene Menge an 137Cs wird als Ausgangsmenge bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem im Zeitintervall [0; 60] den Graphen von f ein.
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Die Halbwertszeit von 30 Jahren gibt an, nach welcher Zeitdauer genau die Hälfte der ursprünglichen radioaktiven Isotope zerfallen ist.
- Anfänglich, also zum Startzeitpunkt t=0 sind 100% der Ausgangsmenge vorhanden.
- Nach Ablauf der 1. Halbwertszeit, also nach 30 Jahren sind noch \(\dfrac{{100\% }}{2} = 50\% \) der Ausgangsmenge vorhanden.
- Nach Ablauf der 2. Halbwertszeit, also nach 60 Jahren sind noch \(\dfrac{{50\% }}{2} = 25\% \) der Ausgangsmenge vorhanden.
Mit diesen Infos können wir 3 Punkte im Koordinatensystem einzeichnen und den Graphen entsprechend approximieren.
Nicht gefragt, aber auf folgende Weise kann man sich die Funktionsgleichung ausrechnen:
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = 100 \cdot {a^t} \cr & f\left( {t = 30} \right) = 50 = 100 \cdot {a^{30}}\,\,\,\,\,\left| {:100} \right. \cr & \dfrac{{50}}{{100}} = 0,5 = {a^{30}} \cr & a = \root {30} \of {0.5} = 0,97716 \cr & \cr & f\left( t \right) = 100 \cdot {0,97716^t} \cr} \)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Antwort lautet:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für den richtigen Graphen von f, wobei der Graph eine Exponentialfunktion darstellen und durch die Punkte (0 | 100), (30 | 50) und (60 | 25) verlaufen muss.