Aufgabe 1767
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Weinlese
Die sogenannte Weinlese (Ernte der Weintrauben) in einem Weingarten erfolgt umso schneller, je mehr Personen daran beteiligt sind. Die Funktion f modelliert den indirekt proportionalen Zusammenhang zwischen der für die Weinlese benötigten Zeit und der Anzahl der beteiligten Personen. Dabei ist f(n) die benötigte Zeit für die Weinlese, wenn n Personen beteiligt sind (n ∈ ℕ\{0}, f(n) in Stunden).
Aufgabenstellung:
Geben Sie f(n) an, wenn bekannt ist, dass die benötigte Zeit für die Weinlese bei einer Anzahl von 8 beteiligten Personen 6 Stunden beträgt.
f(n)=
wobei: \(n \in {\Bbb N}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Lösungsweg
- Wenn 8 Personen 6 Stunden für die Weinlese benötigen, dann benötigt 1 Person \(6 \cdot 8 = 48\) Stunden Arbeitszeit.
- Wenn 2 Personen arbeiten, dann dauert es nur die halbe Zeit, also \(\dfrac{{48}}{2} = 24\) Stunden.
- Wenn 3 Personen arbeiten, dann dauert es nur ein Drittel der Zeit, also \(\dfrac{{48}}{3} = 16\) Stunden.
Allgemein formuliert: Wenn insgesamt 48 Stunden von n Personen erbracht werden, dann lautet der indirekt proportionale Zusammenhang \(n \uparrow \Leftrightarrow Std \downarrow \)
Indirekt proportionale Zusammenhänge werden als Bruch angeschrieben:
\(f\left( n \right) = \dfrac{{48}}{n}{\text{ mit }}n \in {\Bbb N}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
0 Personen müssen wir wegen der unzulässigen Division durch Null ausschließen, außerdem würde die Arbeit ohnehin nie von alleine fertig werden ;-)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f\left( n \right) = \dfrac{{48}}{n}{\text{ mit }}n \in {\Bbb N}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Losung sind ebenfalls als richtig zu werten.