Aufgabe 1764
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kostenfunktion
Die Gesamtkosten, die bei der Herstellung eines Produkts anfallen, können mithilfe einer differenzierbaren Kostenfunktion K modelliert werden. Dabei ordnet K der Produktionsmenge x die Kosten K(x) zu (x in Mengeneinheiten (ME), K(x) in Geldeinheiten (GE)).
Für eine Kostenfunktion \(K:\left[ {0;{x_2}} \right] \to {\Bbb R}{\text{ und }}{x_1}{\text{ mit 0 < }}{{\text{x}}_1} < {x_2}\) gelten nachstehende Bedingungen:
- K ist im Intervall [0; x2] streng monoton steigend.
- Die Fixkosten betragen 10 GE.
- Die Kostenfunktion hat im Intervall [0; x1) einen degressiven Verlauf, d. h., die Kosten steigen bei zunehmender Produktionsmenge immer schwacher.
- Bei der Produktionsmenge x1 liegt die Kostenkehre. Die Kostenkehre von K ist diejenige Stelle, ab der die Kosten immer starker steigen.
Aufgabenstellung
Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Verlauf des Graphen einer solchen Kostenfunktion K.
Lösungsweg
Wir interpretieren die Informationen aus der Angabe wie folgt:
Der Graph, den wir in das Koordinatensystem einzeichnen sollen, startet im Punkt (0│10) . Die Fixkosten von 10 GE fallen nämlich auch dann an, wenn 0 Mengeneinheiten produziert werden.
Der Graph muss über das gesamte Intervall steigen. Wegen dem Zusatz „streng“ darf die Tangente an den Graph auch an keiner Stelle horizontal verlaufen, dh auch nicht an der Wendestelle. Der Graph darf daher auch keinen Hoch- oder Tiefpunkt haben, da er dann nicht über das gesamte Intervall steigen würde.
Kostenkehre bei der Produktionsmenge x1 bedeutet, dass der Graph dort einen Wendepunkt haben muss.
Links vom Wendepunkt hat die Funktion einen degressiven Verlauf, rechts davon einen progressiven Verlauf. Degressiver Verlauf bedeutet rechtsgekrümmt, negativ bzw. konvex gekrümmt.
Somit können wir den Verlauf vom Graphen wie folgt skizzieren:
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Darstellung des Graphen einer solchen Funktion K, der folgende Bedingungen erfüllt:
- Er muss im Punkt (0 | 10) beginnen.
- Er muss im Intervall [0; x2] streng monoton steigend sein.
- Er muss an der Stelle x1 eine Wendestelle aufweisen.
- Er muss im Intervall (0; x1) rechtsgekrümmt und im Intervall (x1; x2) linksgekrümmt sein.