Aufgabe 1598
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Steigung einer linearen Funktion
Der Graph einer linearen Funktion f verlauft durch die Punkte \(A = \left( {a\left| b \right.} \right)\) und \(B = \left( {5 \cdot a\left| { - 3 \cdot b} \right.} \right){\text{ mit }}a,b \in {\Bbb R}{{\backslash }}\left\{ 0 \right\}\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Steigung k der linearen Funktion f !
k=?
Lösungsweg
Es gibt mehrere Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen.
Eine grafische Lösung kann wie folgt aussehen:
Eine Möglichkeit ohne zu rechnen besteht darin, die Werte aus einer Skizze wie folgt abzulesen: Zur Erstellung der Skizze wählen wir beliebige Werte für a und b, so dass die Punkte noch gut auf die Zeichenfläche passen. Wir haben willkürlich a=1 und b=2 gewählt.
Aus der Skizze können wir direkt die Werte für \({\Delta y}\) und \({\Delta x}\) ablesen und wie folgt notieren:
\(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - b}}{a} = - \dfrac{b}{a}\)
Eine rechnerische Lösung kann wie folgt aussehen:
Die rechnerische Lösung basiert auf folgender Formel für die Steigung der Geraden, bei 2 bekannten Punkten auf der Geraden:
\(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{{B_y} - {A_y}}}{{{B_x} - {A_x}}}\)
\(\begin{array}{l} A = \left( {a\left| b \right.} \right)\\ B = \left( {5a\left| { - 3b} \right.} \right) \end{array}\)
Wenn man in obige Formel A und B einsetzt, erhält man:
\(k = \dfrac{{\left( { - 3b} \right) - \left( b \right)}}{{\left( {5a} \right) - \left( a \right)}} = \dfrac{{ - 4b}}{{4a}} = - \dfrac{b}{a}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(k = - \dfrac{b}{a}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig zu werten.