Aufgabe 1554
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbwertszeit von Cobalt-60
Das radioaktive Isotop Cobalt-60 wird unter anderem zur Konservierung von Lebensmitteln und in der Medizin verwendet. Das Zerfallsgesetz für Cobalt-60 lautet \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - 0,13149 \cdot t}}\) mit t in Jahren. Dabei bezeichnet N0 die vorhandene Menge des Isotops zum Zeitpunkt t = 0 und N(t) die vorhandene Menge zum Zeitpunkt t ≥ 0.
Aufgabenstellung
Berechnen Sie die Halbwertszeit von Cobalt-60!
Lösungsweg
Wir schreiben die Exponentialfunktion für den Zeitpunkt an, zu dem noch die Hälfte der anfänglich vorhandenen Isotope vorhanden ist und machen t explizit. Für die Halbwertszeit gilt \(\dfrac{{{N_0}}}{2}\)
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - 0,13149 \cdot t}} \cr & \dfrac{{{N_0}}}{2} = {N_0} \cdot {e^{ - 0,13149 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| {:{N_0}} \right. \cr & \dfrac{1}{2} = {e^{ - 0,13149 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & \ln \left( {0,5} \right) = - 0,13149 \cdot t \cr & t = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{{ - 0,13149}} = 5,27148 \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(t \approx 5,27{\text{ Jahre}}\)
Die Halbwertszeit von Cobalt-60 beträgt ca. 5,27 Jahre.
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall: [5 Jahre; 5,5 Jahre]
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Jahre“ nicht angegeben sein muss.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.