Aufgabe 1458
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parameter einer Sinusfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion s mit der Gleichung \(s\left( x \right) = c \cdot \sin \left( {d \cdot x} \right)\) mit \(c,d \in {{\Bbb R}^ + }\) im Intervall \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\)
Aufgabenstellung:
Erstellen Sie im obigen Koordinatensystem eine Skizze eines möglichen Funktionsgraphen der Funktion s1 mit \({s_1}\left( x \right) = 2c \cdot \sin \left( {2d \cdot x} \right)\) im Intervall \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\)
Lösungsweg
Wir haben eine Funktion \(s\left( x \right) = c \cdot \sin \left( {d \cdot x} \right)\) mit \(c,d \in {{\Bbb R}^ + }\) im Intervall \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) gegeben, welche einer sinusförmige Schwingung entspricht.
d ... die Kreisfrequenz beschreibt, wie oft sich die Schwingung innerhalb eines Intervalls von \(\left[ {0;2\pi } \right]\) in Richtung der x-Achse wiederholt
c .. die Amplitude beschreibt, die maximale Auslenkung in Richtung der y-Achse
Wir erinnern uns an den Zusammenhang zwischen Gradmaß und Bogenmaß:
\(90^\circ = \dfrac{\pi }{2};\,\,\,\,\,180^\circ = \pi ;\,\,\,\,\,270^\circ = \dfrac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,\,360^\circ = 2\pi ;\)
Wir wissen, dass sich die Amplitude (maximale Auslenkung) verdoppelt. Das heißt das Maximum erhöht sich von c=1 auf c=2.
Zusätzlich wissen wir, dass sich die Kreisfrequenz d verdoppelt \(d \to 2d\). Daher erhalten wir anstatt einer Schwingung innerhalb des Intervalls \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) zwei Schwingungen.
Somit müssen wir diese Eigenschaften nur noch dementsprechend in einen Funktionsgraphen einzeichnen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Es verdoppeln sich die Amplitude und die Frequenz der sinusförmigen Schwingung.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Skizze, wobei der Verlauf des Graphen der Funktion s1 mit der Funktionsgleichung \({s_1}\left( x \right) = 2 \cdot \sin \left( x \right)\) erkennbar sein muss.