Aufgabe 1438
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Modellierung
Eine lineare Funktion f wird allgemein durch eine Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\) mit den Parametern \(k \in {\Bbb R}{\text{ und }}d \in {\Bbb R}\) dargestellt.
- Aussage 1: Die Gesamtkosten bei der Herstellung einer Keramikglasur setzen sich aus einmaligen Kosten von € 1.000 für die Maschine und € 8 pro erzeugtem Kilogramm Glasur zusammen. Stellen Sie die Gesamtkosten für die Herstellung einer Keramikglasur in Abhängigkeit von den erzeugten Kilogramm Glasur dar!
- Aussage 2: Eine Bakterienkultur besteht zu Beginn einer Messung aus 20 000 Bakterien. Die Anzahl der Bakterien verdreifacht sich alle vier Stunden. Stellen Sie die Anzahl der Bakterien in dieser Kultur in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit (in Stunden) dar!
- Aussage 3: Die Anziehungskraft zweier Planeten verhält sich indirekt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Planeten. Stellen Sie die Abhängigkeit der Anziehungskraft zweier Planeten von ihrem Abstand dar!
- Aussage 4: Ein zinsenloses Wohnbaudarlehen von € 240.000 wird 40 Jahre lang mit gleichbleibenden Jahresraten von € 6.000 zurückgezahlt. Stellen Sie die Restschuld in Abhängigkeit von der Anzahl der vergangenen Jahre dar!
- Aussage 5: Bleibt in einem Stromkreis die Spannung konstant, so ist die Leistung direkt proportional zur Stromstärke.Stellen Sie die Leistung im Stromkreis in Abhängigkeit von der Stromstärke dar!
Aufgabenstellung:
Welche der oben angegebenen Aufgabenstellungen kann / können mithilfe einer linearen Funktion modelliert werden? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aufgabenstellung(en) an!
Lösungsweg
Lineare Funktionen sind vom Typ \(f\left( x \right) = kx + d\), wobei k der Anstieg bzw. die Steigung, d der Abschnitt auf der y-Achse ist
Achtung: Die Formeln selbst sind nicht anzugeben, es ist lediglich zu entscheiden, ob man die Aussage mit einer linearen Funktion modellieren kann.
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil \(K = {K_f} + {K_v}\left( x \right) = 1000 + 8 \cdot x\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil eine Verdreifachung je Zeitintervall einer exponentiellen - und nicht einer linearen - Funktion entspricht
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil eine indirekt proportionale - und somit keine lineare - Funktion vorliegt. Die Formel für die beschriebene Anziehungskraft sollte man übrigens auswendig kennen: \(\overrightarrow F = \overrightarrow G \dfrac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{r^2}}}\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil wir für die Restschuld S wie folgt anschreiben können: \(S(n) = 240000 - 6000 \cdot n\)
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil für konstante Spannung U=c wie folgt gilt: \(P = U \cdot I{\text{ mit U = c: }}P\left( I \right) = c \cdot I\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen 3 Aufgabenstellungen angekreuzt sind.