Aufgabe 1437
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Potenzfunktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Potenzfunktion f vom Typ \(f\left( x \right) = a \cdot {x^z}\) mit \(a \in {\Bbb R};\,\,\,a \ne 0;\,\,\,z \in {\Bbb Z}\) dargestellt.
- Aussage 1: \(f\left( x \right) = 2 \cdot {x^{ - 4}}\)
- Aussage 2: \(f\left( x \right) = - {x^{ - 2}}\)
- Aussage 3: \(f\left( x \right) = - {x^2}\)
- Aussage 4: \(f\left( x \right) = - {x^{ - 1}}\)
- Aussage 5: \( f\left( x \right) = {x^{ - 2}}\)
- Aussage 6: \(f\left( x \right) = {x^{ - 1}}\)
Aufgabenstellung:
Eine der obenstehenden Gleichungen ist eine Gleichung dieser Funktion f. Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Für die Grundfunktionen der Potenzfunktionen gilt:
Hochzahl | Hochzahl | |
positiv bzw xn | n ist gerade |
|
positive bzw. xn | n ist ungerade |
|
negativ bzw. \({x^{ - n}} = \dfrac{1}{{{x^n}}}\) | n ist gerade |
|
negativ bzw. \({x^{ - n}} = \dfrac{1}{{{x^n}}}\) | n ist ungerade |
|
Lösungsweg
1. Methode: Wir setzen für x jeweils den Wert 0, 1 und -1 ein und prüfen, ob der zugehörige Funktionswert auf dem gegebenen Graph liegt
- Aussage 1: \(x = 0 \to y = f\left( {x = 0} \right) = 0 \Rightarrow {P_1} = \left( {0\left| 0 \right.} \right)\) ⇒ Nicht erfüllt
- Aussage 2: \(x = 0 \to y = f\left( {x = 0} \right) = - \infty \Rightarrow {P_1} = \left( {0\left| { - \infty } \right.} \right)\) ⇒ erfüllt
- \(x = 1 \to y = f\left( {x = 1} \right) = - 1 \Rightarrow {P_2} = \left( {1\left| { - 1} \right.} \right)\) ⇒ erfüllt
- \(x = - 1 \to y = f\left( {x = - 1} \right) = - 1 \Rightarrow {P_3} = \left( { - 1\left| { - 1} \right.} \right)\) ⇒ erfüllt
- Aussage 3: \(x = 0 \to y = f\left( {x = 0} \right) = 0 \Rightarrow {P_1} = \left( {0\left| 0 \right.} \right)\) ⇒ Nicht erfüllt
- Aussage 4: \(x = 0 \to y = f\left( {x = 0} \right) = - \infty \Rightarrow {P_1} = \left( {0\left| { - \infty } \right.} \right)\) ⇒ Erfüllt
- \(x = 1 \to y = f\left( {x = 1} \right) = - 1 \Rightarrow {P_1} = \left( {1\left| { - 1} \right.} \right)\) ⇒ Erfüllt
- \(x = - 1 \to y = f\left( {x = - 1} \right) = 1 \Rightarrow {P_3} = \left( { - 1\left| 1 \right.} \right)\) ⇒ Nicht erfüllt
- Aussage 5: \(x = 0 \to y = f\left( {x = 0} \right) = \infty \Rightarrow {P_1} = \left( {0\left| \infty \right.} \right)\) ⇒ Nicht erfüllt
- Aussage 6:\(x = 0 \to y = f\left( {x = 0} \right) = \infty \Rightarrow {P_1} = \left( {0\left| \infty \right.} \right)\) ⇒ Nicht erfüllt
2. Methode: Wir kennen den Zusammenhang zwischen
- dem Vorzeichen der Hochzahl und
- den Konsequenzen wenn die Hochzahl gerade oder ungerade ist
auf den Graph der Potenzfunktion
- Aussage 1: \(f\left( x \right) = 2 \cdot {x^{ - 4}}\) → Hochzahl ist negativ und gerade
- gerade Funktion dh symmetrisch zur y-Achse → erfüllt
- Graph mit 2 Ästen → erfüllt
- Graph nur im Bereich der positiven y-Achse → nicht erfüllt
- Aussage 2: \(f\left( x \right) = - {x^{ - 2}}\) → Hochzahl ist negativ und gerade, durch das "-" wird der Graph um die x-Achse gespiegelt
- gerade Funktion dh symmetrisch zur y-Achse → erfüllt
- Graph mit 2 Ästen → erfüllt
- durch das "-" wird der Graph um die x-Achse gespiegelt: Graph nur im Bereich der negativen y-Achse → erfüllt
- Aussage 3: \(f\left( x \right) = - {x^2}\) → Hochzahl ist positiv und gerade, durch das "-" wird der Graph um die x-Achse gespiegelt
- gerade Funktion dh symmetrisch zur y-Achse → erfüllt
- Graph mit nur einem Ast → nicht erfüllt
- Aussage 4: \(f\left( x \right) = - {x^{ - 1}}\) → Hochzahl ist negativ und ungerade
- ungerade Funktion dh symmetrisch zum Ursprung → nicht erfüllt
- Aussage 5: \( f\left( x \right) = {x^{ - 2}}\) → Hochzahl ist negativ und gerade
- gerade Funktion dh symmetrisch zur y-Achse → erfüllt
- Graph mit 2 Ästen → erfüllt
- Graph nur im Bereich der positiven y-Achse → nicht erfüllt
- Aussage 6: \(f\left( x \right) = {x^{ - 1}}\) → Hochzahl negativ und ungerade
- ungerade Funktion dh symmetrisch zum Ursprung → nicht erfüllt
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Gleichung angekreuzt ist.