Aufgabe 1436
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Polynomfunktion
Eine reelle Funktion f mit \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\text{ }}\)mit \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \ne 0\) heißt Polynomfunktion dritten Grades.
- Aussage 1: Jede Polynomfunktion dritten Grades hat immer zwei Nullstellen.
- Aussage 2: Jede Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle.
- Aussage 3: Jede Polynomfunktion dritten Grades hat mehr Nullstellen als lokale Extremstellen.
- Aussage 4: Jede Polynomfunktion dritten Grades hat mindestens eine lokale Maximumstelle.
- Aussage 5: Jede Polynomfunktion dritten Grades hat höchstens zwei lokale Extremstellen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil eine Polynomfunktion 3. Grades immer 3 Nullstellen hat, von denen aber 2 konjugiert komplex und nur 1 reell sein kann. z.B.: f(x)=x3 hat nur 1 reelle Nullstelle, an der Stelle x=0
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil für die Wendestelle \(f''\left( x \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( x \right) \ne 0\) was für eine Polynomfunktion 3. Grades immer erfüllt ist. Beweis siehe weiter unten in der Aufgabenanalyse
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil eine Polynomfunktion 3. Grades auch nur 1 reelle Nullstelle aber gleichzeitig 1 Hochpunkt und 1 Tiefpunkt, also 2 Extremstellen haben kann.
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil eine Polynomfunktion 3. Grades auch keine Maximumstelle haben kann, wie z.B.: f(x)=x3
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil für lokale Extremstellen \(f'\left( x \right) = 0\) gelten muss und die 1. Ableitung einer Funktion 3. Grades eine quadratische Funktion ist und jede quadratische Funktion genau 2 Lösungen hat. Beweis siehe weiter unten in der Aufgabenanalyse
Aufgabenanalyse:
Polynomfunktionen n-ten Grades
\(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
- Der Grad der Polynomfunktion „n“ entspricht der höchsten vorkommenden Potenz von der Variablen x. Alle Polynomfunktionen verlaufen durch den Punkt \(P\left( {0\left| {{a_n}} \right.} \right)\)
- Nullstellen: Maximale Anzahl der Nullstellen = Grad der Funktion.
- Wenn „n“ ungerade ist, dann haben sie mindestens eine Lösung in \({\Bbb R}\)
- Extremstellen: Maximale Anzahl der Extremstellen = Grad der Funktion minus 1
- Wendestellen: Maximale Anzahl der Wendestellen = Grad der Funktion minus 2
- konstantes Glied: Das konstante Glied erhält man immer an der Stelle x=0. Daher kann man es aus einem Graph auf der y-Achse (\(P\left( {0\left| {{a_n}} \right.} \right)\)) direkt ablesen.
Beweis, dass eine Polynomfunktion 3. Grades immer genau eine Wendestelle haben muss:
\(\eqalign{ & f''\left( x \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( x \right) \ne 0 \cr & \cr & f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \cr & f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c \cr & f''\left( x \right) = 6ax + 2b \cr & \cr & f''\left( x \right) = 0 \to 6ax + 2b = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{{2b}}{{6a}} = - \dfrac{b}{{3a}} \cr & f'''(x) = 6a \ne 0{\text{ für }}a \ne 0 \cr}\)
Beweis, dass eine Polynomfunktion 3. Grades maximal 2 lokale Extremstellen haben kann:
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = 0 \cr & \cr & f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \cr & f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c \cr & \cr & f'\left( x \right) = 0 \to 3a{x^2} + 2bx + c = 0 \cr & \to {\text{quadratische Gleichung}}{\text{, hat 2 Lösungen}} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Losungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.