Aufgabe 1267
AHS - 1_267 & Lehrstoff: FA 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wirkung der Parameter
Gegeben ist eine Potenzfunktion g mit der Gleichung \(g\left( x \right) = c \cdot {x^2} + d\) mit c < 0 und d > 0
- Aussage 1: g schneidet die y-Achse im Punkt P = (d | 0).
- Aussage 2: g besitzt zwei Nullstellen.
- Aussage 3: Je größer d ist, umso steiler verläuft der Graph von g.
- Aussage 4: Je kleiner c ist, umso flacher verläuft der Graph von g.
- Aussage 5: g besitzt einen Hochpunkt.
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden für g zutreffenden Aussagen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Folgende Überlegungen:
- Bei einer quadratischen Funktion vom Typ \({f_i}\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\) ist der 1. Term, also \(a \cdot {x^2}\), ausschließlich vom Vorzeichen von a abhängig, da x2 für alle x wegen des Quadrats immer positiv sein muss. Dh wenn a>0 also positiv ist, dann wird der Graph zunächst einmal nur im Bereich der positiven y-Achse liegen und umgekehrt.
- Bei einer quadratischen Funktion vom Typ \({f_i}\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\) bewirkt der 2. Term, also "b" lediglich eine Parallelverschiebung vom Graphen entlang der y-Achse und zwar bei b>0, also positivem b, in Richtung der positiven y-Achse und umgekehrt. Bei b=0 verläuft der Graph durch den Ursprung.
Daraus können wir folgende Regeln ableiten:
- Wenn a>0, dann verläuft der Graph der Funktion im 2. Quadranten abfallend und im 1. Quadranten ansteigend
- Wenn a<0, dann verläuft der Graph der Funktion im 3. Quadranten ansteigend und im 4. Quadranten abfallend
- Wenn b>0, dann schneidet der Graph die positive y-Achse
- Wenn b<0, dann schneidet der Graph die negative y-Achse
Somit können wir eine Skizze vom Graph der Funktion anfertigen:
Lösungsweg
Mit Hilfe der oben angeführten Überlegungen und Regeln können wir wie folgt analysieren:
Gleichung \(g\left( x \right) = c \cdot {x^2} + d\) mit c < 0 und d > 0
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil g die y-Achse im Punkt \(P(0\left| d \right.)\) schneidet
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil der Graph der Funktion zunächst aus dem Unendlichen kommend ansteigend und nach dem Hochpunkt \(P(0\left| d \right.)\) wieder ins Unendliche abfallend ist und somit die x-Achse 2 Mal schneidet.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil d lediglich eine Parallelverschiebung vom Graphen entlang der y-Achse bewirkt.
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil je größer der Betrag von a ist, umso steiler die Funktion. Wir haben es hier aber mit negativen Zahlen (c<0) zu tun, und müssen bedenken dass \( - 15 < - 3\) ist. Somit gilt: Je kleiner c (=je größer der Betrag von c ist) ist umso steiler verläuft der Graph von g
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil die Funktion in \(P(0\left| d \right.)\) ihren Hochpunkt hat.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.