Aufgabe 1117
AHS - 1_117 & Lehrstoff: FA 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ideales Gas
Die Abhängigkeit des Volumens V vom Druck p kann durch eine Funktion beschrieben werden. Bei gleichbleibender Temperatur ist das Volumen V eines idealen Gases zum Druck p indirekt proportional. 200 cm³ eines idealen Gases stehen bei konstanter Temperatur unter einem Druck von 1 bar.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Term der Funktionsgleichung an und zeichnen Sie deren Graphen!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Es handelt sich hierbei um das Boyle-Mariotte'sche Gesetz, demzufolge sich das Volumen eines idealen Gases halbiert, wenn man - bei gleichbleibender Temperatur - den Druck verdoppelt. Volumen und Druck sind also indirekt proportional.
- V=200 cm3 bei p=1 bar .. gemäß Angabe
- V=100 cm3 bei p=2 bar ... gemäß "indirekter Proportionalität" (Doppelter Druck → halbes Volumen)
- V=50 cm3 bei p=4 bar ... gemäß "indirekter Proportionalität" (Vierfacher Druck → ein Viertel vom Volumen)
Für physikalisch Interessierte: Aus der idealen Gasgleichung folgert:
\(\eqalign{ & p \cdot V = n \cdot R \cdot T \to V(p) = \dfrac{{n \cdot R \cdot T}}{p}{\text{ }} \cr & {\text{n: }}{\text{Stoffmenge in Mol}} \cr & {\text{R: Gaskonstante}} \cr & {\text{bei T = konstant}} \cr & \to {\text{V}}\left( p \right) = \dfrac{c}{p} \cr} \)
Lösungsweg
Aus der Angabe können wir entnehmen, dass V und p indirekt proportional sind. Daher muss p in den Nenner und es gilt folgender Zusammenhang: \(V\left( p \right) = \dfrac{c}{p}\)
Weiters kennen wir noch einen Punkt der Kurve: Bei 1 bar Druck beträgt das Volumen 200 cm3 . Diese Information nützen wir, um c wie folgt zu bestimmen:
\(\eqalign{ & V(p = 1) = 200 = \dfrac{c}{1} \to c = 200 \cr & V\left( p \right) = \dfrac{{200}}{p} \cr} \)
Mit obiger Funktionsgleichung können wir nun auch den Graphen wie folgt zeichnen:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Funktionsgleichung: \(V\left( p \right) = \dfrac{{200}}{p}\)
- Graph
Lösungsschlüssel:
Die Lösung gilt nur dann als richtig, wenn die Funktionsgleichung richtig angegeben ist und der Graph den entsprechenden Verlauf (in seiner charakteristischen Ausprägung) zeigt.