Aufgabe 1525
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flächeninhalt
Abgebildet ist ein Ausschnitt des Graphen der Polynomfunktion f mit \(f(x) = - \dfrac{{{x^3}}}{8} + 2 \cdot x.\) Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse im Intervall [–2; 2] ist grau markiert.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Inhalt der grau markierten Fläche!
Lösungsweg
Um eine Fläche zwischen Graphen und x-Achse zu berechnen, verwenden wir das bestimmte Integral: \(\int\limits_b^a {f(x)dx} = F(a) - F(b)\). Diese Formel betrachtet Flächen unterhalb der x-Achse als negativ. Daher müssen wir vorsichtig sein und müssen die Funktion f analysieren:
- Alternative 1: Wir können feststellen, dass \(f(x) \geqslant 0\) für \(x \in [0;2]\) und \(f(x) \leqslant 0\) für \(x \in [ - 2;0]\). Somit ergibt sich die grau markierte Fläche zu: \(A = - \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^2 {f(x)dx} \)
- Alternative 2: Wir können feststellen, dass \(f(x) = - f( - x)\). ist. Dabei ist die graue Fläche im Intervall \(x \in [ - 2;0]\) gleich groß wie die Fläche im Intervall \(x \in [0;2]\). Somit ergibt sich die grau markierte Fläche zu: \(A = 2 \cdot \int\limits_0^2 {f(x)dx} \)
Bei obiger Analyse der Aufgabe haben wir 2 gleichwertige Rechenwege identifiziert:
- Alternative 1: \(A = - \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^2 {f(x)dx} = \dfrac{{{x^4}}}{{8 \cdot 4}} - {x^2}|_{ - 2}^0 - \dfrac{{{x^4}}}{{8 \cdot 4}} + {x^2}|_0^2 = \dfrac{7}{2} + \dfrac{7}{2} = \dfrac{{14}}{2} = 7\)
- Alternative 2: \(A = 2 \cdot \int\limits_0^2 {f(x)dx} = 2 \cdot \left( { - \dfrac{{{x^4}}}{{8 \cdot 4}} + {x^2}|_0^2} \right) = \dfrac{{2 \cdot 7}}{2} = 7\)
In beiden Fällen ergibt sich: A=7
Anmerkung zum "Minus" vor dem 1. Integral in Alternative 1: Bei Funktionen die negativ werden, gehen Flächen oberhalb der x-Achse positiv in die Summe ein. Flächen unterhalb der x-Achse gehen negativ in die Summe ein. Man spricht hier von negativ orientierten Flächen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
A=7
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig zu werten. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.