Aufgabe 1477
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Arbeit beim Verschieben eines Massestücks
Ein Massestück wird durch die Einwirkung einer Kraft geradlinig bewegt. Die dazu erforderliche Kraftkomponente in Wegrichtung ist als Funktion des zurückgelegten Weges in der nachstehenden Abbildung dargestellt. Der Weg s wird in Metern (m), die Kraft F(s) in Newton (N) gemessen.
Im ersten Wegabschnitt wird F(s) durch f1 mit \({F_1}\left( {{s_1}} \right) = \dfrac{5}{{16}} \cdot {s^2}\) beschrieben. Im zweiten Abschnitt (s2) nimmt sie linear auf den Wert null ab. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte des Graphen der Funktion sind ganzzahlig.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Arbeit W in Joule (J), die diese Kraft an dem Massestuck verrichtet, wenn es von s = 0 m bis zu s = 15 m bewegt wird!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Lösungsweg
Gemäß der Definition für Arbeit, errechnet sich diese wie folgt aus Kraft mal Weg: \(W = \int\limits_{\overrightarrow {{s_A}} }^{\overrightarrow {{s_E}} } {\overrightarrow F \left( {\overrightarrow s } \right)} \cdot \,\,d\overrightarrow s \)
Die zu leistende Arbeit entspricht der Fläche unter der Kurve.
- s=0 bis 4: Wir berechnen die Fläche unter der Kurve \(s = \dfrac{5}{{16}} \cdot {s^2}\). Da im ersten Wegabschnitt die Kraft nicht linear wirkt, sondern exponentiell, müssen wir die Integralrechnung zur Ermittlung der Fläche unter der Kurve verwenden
- s=4 bis15: Wir berechnen die Fläche des rechtwinkeligen Dreiecks mit der Seite a=(15-4)=11 und der Höhe ha=5
Gemäß der Formel für das Integrieren von Potenzen gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & F\left( x \right) = \int {{x^n}\,\,dx = \dfrac{1}{{n + 1}}} \cdot {x^{n + 1}} + C \cr} \)
\(\begin{array}{l} {W_1} = \int\limits_0^4 {\dfrac{5}{{16}}} \cdot {s^2}\,\,ds = d\frac{5}{{16}} \cdot \dfrac{{{s^3}}}{3}\,\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 0 \end{array}} \right. = \dfrac{5}{{16 \cdot 3}} \cdot \left[ {{4^3} - {0^3}} \right] = \frac{5}{{48}} \cdot 64 = 6,667\\ {W_2} = \dfrac{{11 \cdot 5}}{2} = 27,5\\ W = {W_1} + {W_2} \approx 27,5 + 6,667 \approx 34,17J \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(W \approx 34,17J\)
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall: [34 J; 35 J]
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig zu werten.