Aufgabe 1786
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Geraden in ℝ2
Für die zwei Geraden g und h in ℝ2 gilt:
- Die Gerade g mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow g \) hat den Normalvektor \(\overrightarrow {{n_g}} \).
-
Die Gerade g mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow h\) hat den Normalvektor \(\overrightarrow {{n_h}} \).
- Die Geraden g und h stehen normal aufeinander.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Bedingungen an, die auf jeden Fall gelten.
- Aussage 1: \(\overrightarrow {{n_g}} \cdot \overrightarrow h = 0\)
- Aussage 2: \(\overrightarrow {{n_g}} \cdot \overrightarrow {{n_h}} = 0\)
- Aussage 3: \(\overrightarrow g = r \cdot \overrightarrow h {\text{ mit }}r \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
- Aussage 4: \(\overrightarrow g = r \cdot \overrightarrow {{n_h}} {\text{ mit }}r \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
- Aussage 5: \(\overrightarrow g \cdot \overrightarrow {{n_h}} = 0\)
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Wir machen eine Skizze wie folgt:
- Schritt: Wir zeichnen eine beliebige Gerade g ein
- Schritt: Wir zeichnen den Normalvektor auf g ein
- Schritt: Wir zeichnen die Gerade h ein, die im rechten Winkel auf g steht
- Schritt: Wir zeichnen den Normalvektor auf h ein und sehen, dass dieser parallel zur Ausgangsgeraden g verläuft
Wir erinnern uns an das Orthogonalitätskriterium, welches besagt, dass 2 Vektoren dann im rechter Winkel zueinander stehen, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
Nun analysieren wir die 5 Aussagen wie folgt:
- Aussage 1: Falsch, weil wir aus der Skizze entnehmen, dass \(\overrightarrow {{n_g}} {\text{ }}\parallel {\text{ }}\overrightarrow h \) d.h. ihr Skalarprodukt ist nicht Null
- Aussage 2: Richtig, weil wir aus der Skizze entnehmen, dass \(\overrightarrow {{n_g}} {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow {{n_h}} \) d.h. ihr Skalarprodukt ist Null
- Aussage 3: Falsch, weil wir aus der Skizze entnehmen, dass \(\overrightarrow g {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow h \) d.h. es kann kein Skalar r geben mit dem man \(\overrightarrow h \) um 90° drehen könnte
- Aussage 4: Richtig, weil wir aus der Skizze entnehmen, dass \(\overrightarrow g {\text{ }}\parallel {\text{ }}\overrightarrow {{n_h}} \) d.h gemäß dem Parallelitätskriterium gilt:
\(\overrightarrow g {\rm{ }}\parallel {\rm{ }}\overrightarrow {{n_h}} \Leftrightarrow \overrightarrow g = r \cdot \overrightarrow {{n_h}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_x}}\\ {{g_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {r \cdot {n_{h,x}}}\\ {r \cdot {n_{h,y}}} \end{array}} \right)\)
- Aussage 5: Falsch, weil wir aus der Skizze entnehmen, dass \(\overrightarrow g \parallel \overrightarrow {{n_h}} \) d.h. ihr Skalarprodukt ist nicht Null
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3 :Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Bedingungen angekreuzt sind.