Aufgabe 1592
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lösungen einer quadratischen Gleichung
Eine Gleichung, die man auf die Form
\(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0{\text{ mit }}a,b,c \in {\Bbb R}\)
umformen kann, nennt man quadratische Gleichung in der Variablen x mit den Koeffizienten a, b, c.
Eine quadratische Gleichung der Form \(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\) mit Satzteil 1 hat in jedem Fall Satzteil 2
- Satzteil 1_1: a>0 und c>0
- Satzteil 1_2: a>0 und c<0
- Satzteil 1_3: a<0 und c<0
- Satzteil 2_1: zwei verschiedene reelle Lösungen
- Satzteil 2_2: genau eine reelle Lösung
- Satzteil 2_3: keine reelle Lösung
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ergänzen Sie die Textlichen im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Lösungsweg
Für die rechnerische Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc Formel gilt:
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr} \)
Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" 3 mögliche Lösungsfälle.
- D > 0 → 2 Lösungen in \({\Bbb R}\)
- D = 0 → 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in \({\Bbb R}\)
- D < 0 → keine Lösung in \({\Bbb R}\), aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in \({\Bbb C}\)
Wir müssen untersuchen, wie sich die Vorzeichen von „a“ und „c“ auf das Vorzeichen der Diskriminante D=b2−4ac auswirken
- a>0 und c>0 → 4ac>0. Ob nun D positiv oder negativ ist, hängt von „b“ ab, von dem wir aber nichts wissen
- a>0 und c<0 → 4ac<0. Auf Grund vom negativen Vorzeichen vor 4ac und auf Grund der Tatsache, dass b2 - auf Grund vom Quadrat - auf jeden Fall positiv ist, kann man mit Sicherheit sagen, dass D>0
- a<0 und c<0 → 4ac>0. Ob nun D positiv oder negativ ist, hängt von „b“ ab, von dem wir aber nichts wissen.
Wir kennen den folgenden Zusammenhang zwischen der Diskriminante und der Anzahl der Lösungen:
- 1. Fall: D > 0 → 2 Lösungen in R
- 2. Fall: D = 0 → 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in R
- 3. Fall: D < 0 → keine Lösung in R, aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in C
Nur im Fall a>0 und c>0 können wir mit Sicherheit sagen, dass D>0 gelten muss. Aus D>0 können wir sagen, dass 2 verschiedene reelle Lösungen vorliegen.
Somit:
Eine quadratische Gleichung der Form \(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\) mit a>0 und c<0 hat in jedem Fall zwei verschiedene reelle Lösungen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Eine quadratische Gleichung der Form \(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\) mit a>0 und c<0 - hat in jedem Fall zwei verschiedene reelle Lösungen.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.