Aufgabe 1540
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung
Gegeben ist die Gleichung \(a \cdot {x^2} + 10 \cdot x + 25 = 0{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \ne 0\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Bestimmen Sie jene(n) Wert(e) von a, für welche(n) die Gleichung genau eine reelle Lösung hat!
a=
Lösungsweg
Für die rechnerische Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc Formel gilt:
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0; \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac; \cr}\)
Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminanten "D" 3 mögliche Lösungsfälle.
- D > 0 à 2 Lösungen in R
- D = 0 à 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in R
- D < 0 à keine Lösung in R, aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in C
Da \(a \ne 0\) ist, handelt es sich bei \(a \cdot {x^2} + 10 \cdot x + 25 = 0\) um eine quadratische Gleichung vom abc-Typ, mit a=a, b=10 und c=25. Der abc Gleichungstyp hat genau dann nur 1 Lösung in \({\Bbb R}\) wenn die Diskriminante D = 0.
Mit a=a, b=10 und c=25 gilt:
\(\eqalign{ & D = {b^2} - 4ac = 0 \cr & {10^2} - 4 \cdot a \cdot 25 = 0 \cr & {10^2} = 100 \cdot a \cr & a = 1 \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
a=1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.