Aufgabe 1512
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Winkel bestimmen
Für einen Winkel \(\alpha \in \left[ {0^\circ ;360^\circ } \right]\) gilt: \(\sin \left( \alpha \right) = 0,4\) und \(\cos \left( \alpha \right) < 0\)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Winkel \(\alpha\) in Grad!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Lösungsweg
- Über die Arkus Sinus Funktion können wir den Winkel berechnen, der den gegebenen 0,4 rad entspricht. Wir müssen dabei berücksichtigen, dass es 2 Winkel am Einheitskreis gibt, für die gilt: \(\sin \left( \alpha \right) = 0,4\). Wir haben also zunächst eine zweideutige Lösung.
- Im letzten Schritt berücksichtigen wir daher die Aussage aus der Angabe, dass \(\cos \left( \alpha \right) < 0\), wodurch wir zu einer eindeutigen Lösung kommen.
Wir machen uns eine kleine Skizze:
Unter Berücksichtigung vom oben gesagten, gehen wir in 2 Schritten wie folgt vor:
1. Wir ermitteln die beiden Winkel \({\alpha _1},\,\,{\alpha _2}\)
\(\eqalign{ & \sin \left( \alpha \right) = 0,4 \cr & {\alpha _1} = \arcsin 0,4 \approx 23,6^\circ ; \cr & {\alpha _2} \approx 180 - 23,6 \approx 156,4^\circ \cr} \)
2. Wir entscheiden auf Grund der Information über das Vorzeichen vom Kosinus gemäß der Angabe:
\(\eqalign{ & \cos \left( {{\alpha _1}} \right) \approx \cos \left( {23,6} \right) \approx 0,998 > 0; \cr & \cos \left( {{\alpha _2}} \right) \approx \cos \left( {156,4} \right) \approx - 0,916 < 0 \Rightarrow \alpha = {\alpha _2} \approx 156,4^\circ \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\alpha \approx 156,4^\circ \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [156°; 157°]