Aufgabe 1468
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung
Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in der Unbekannten x über der Grundmenge \({\Bbb R}\)
\(\eqalign{ & 4{x^2} - d = 2 \cr & d \in {\Bbb R} \cr} \)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie denjenigen Wert für \(d \in {\Bbb R}\) an, für den die Gleichung genau eine Lösung hat!
Lösungsweg
Für die rechnerische Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc Formel gilt:
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0; \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac; \cr}\)
Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" 3 mögliche Lösungsfälle.
1. Fall: D > 0 → 2 Lösungen in ℝ
2. Fall: D = 0 → 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in ℝ
3. Fall: D < 0 → keine Lösung in R, aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in C
Wir müssen die Diskriminante aus der abc Formel untersuchen, wobei wir D so wählen müssen, dass D=0 gilt, denn nur dann hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
Wir bringen die gegebene Gleichung in die vertraute Form, sodass rechts vom Gleichheitszeichen eine 0 steht:
\(\eqalign{ & 4{x^2} - d = 2\,\,\,\,\,\left| { - 2} \right. \cr & 4{x^2} - d - 2 = 0 \cr & 4{x^2} + 0x + \left( { - d - 2} \right) = 0 \cr} \)
Es gibt nur einen quadratischen und einen konstanten Term, nicht aber einen linearen Term. Daher: a=4, b=0 und c=-d-2
Damit die Gleichung genau eine Lösung hat, muss für die Diskriminante gelten
\(D = {b^2} - 4ac = 0\)
Nach dem wir a,b und c einsetzen ergibt sich für die Diskriminante:
\(D = {0^2} - 4 \cdot 4 \cdot ( - d - 2) = 16 \cdot d + 32 = 0\)
Nun müssen wir nur noch d durch Äquivalenzumformungen "explizit" machen:
\(\begin{array}{l} 16 \cdot d + 32 = 0\,\,\,\,\,| - 32\\ 16 \cdot d = - 32\,\,\,\,\,|:16\\ d = - 2 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(d = - 2\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung