Aufgabe 1395
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung mit genau zwei Lösungen
Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in der Unbekannten x über der Grundmenge ℝ:
\({x^2} + 10 \cdot x + q = 0{\text{ mit q}} \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie an, für welche Werte für \(q \in {\Bbb R}\) die Gleichung genau zwei Lösungen besitzt!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Der Koeffizient a vor dem quadratischen Glied ist 1. Es liegt daher die Normalform der quadratischen Gleichung vor.
Für die rechnerische Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels pq Formel gilt:
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0;\, \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q\,\,\,\,} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q; \cr}\)
Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminanten "D" 3 mögliche Lösungsfälle.
1. Fall: D > 0 → 2 Lösungen in R
2. Fall: D = 0 → 1 (eigentlich 2 idente) Lösung in R
3. Fall: D < 0 → keine Lösung in R, aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in C
Die gegebene Gleichung lautet: \({x^2} + 10 \cdot x + q = 0\). Damit diese Gleichung genau 2 Lösungen in ℝ hat, muss für die Diskriminante wie folgt gelten: \(D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q > 0\) .
Da wir p=10 kennen können wir q einfach durch Äquivalenzumformung ausrechnen:
\(\eqalign{ & {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q > 0 \cr & {\left( {\dfrac{{10}}{2}} \right)^2} - q > 0 \cr & 25 - q > 0 \cr & 25 > q \to q < 25 \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(q < 25\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung