Aufgabe 1372
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Definitionsmengen
Es sind vier Terme (1 bis 4) und sechs Mengen (A bis F) gegeben.
- Term 1: \(\ln \left( {x + 1} \right)\)
- Term 2: \(\sqrt {1 - x} \)
- Term 3: \(\dfrac{{2 \cdot x}}{{x \cdot {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
- Term 4: \(\dfrac{{2 \cdot x}}{{{x^2} + 1}}\)
- Definitionsmenge A: \({D_A} = {\Bbb R}\)
- Definitionsmenge B: \({D_B} = \left( {1;\infty } \right)\)
- Definitionsmenge C: \({D_C} = \left( { - 1;\infty } \right)\)
- Definitionsmenge D: \({D_D} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 1;0} \right\}\)
- Definitionsmenge E: \({D_E} = \left( { - \infty ;1} \right)\)
- Definitionsmenge F: \({D_F} = \left( { - \infty ;1} \right)\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ordnen Sie den vier Termen jeweils die entsprechende größtmögliche Definitionsmenge \({D_A},{D_B},...,{D_F}\) in der Menge der reellen Zahlen zu!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
- Term 1: \(\ln \left( {x + 1} \right)\) → Der 1. Term entspricht einer Logarithmusfunktion. Logarithmusfunktionen sind nur dann definiert, wenn die innere Funktion - also der Klammerausdruck - größer als Null ist. Daher muss gelten: \(\left( {x + 1} \right) > 0 \to x > - 1 \to x \in \left( { - 1;\infty } \right)\)
→ Definitionsmenge C
- Term 2: \(\sqrt {1 - x} \) → Der 2. Term entspricht einer Wurzelfunktion. Die Wurzel kann im Bereich der reellen Zahlen nur von Werten größer gleich Null gezogen werden. Daher muss für den Wert unter dem Wurzelzeichen gelten: \(\left( {1 - x} \right) \geqslant 0 \to x \leqslant 1 \to x \in ( - \infty ;\left. 1 \right]\)
→ Definitionsmenge F
- Term 3: \(\dfrac{{2 \cdot x}}{{x \cdot {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) → Der 3. Term stellt einen Bruch dar. Bei einem Bruch darf der Nenner nicht Null werden. Dieser Nenner kann in zwei Fällen zu Null werden:
- wenn für das führende x=0 wird
- wenn in der Klammer x=-1 wird.
D.h. es sind alle reellen Zahlen, ausgenommen 0 und -1 zulässig: \(x \in \mathbb{R}\backslash \left( { - 1;0} \right)\)
Definitionsmenge D
- Term 4: \(\dfrac{{2 \cdot x}}{{{x^2} + 1}}\) → Der 4. Term stellt einen Bruch dar. Bei einem Bruch darf der Nenner nicht Null werden. Das kann bei diesem Bruch aber wegen dem Quadratausdruck bei x nicht passieren.
- Ist x positiv, so ist der Nenner positiv.
- Ist x negativ, so ist der Nenner positiv.
- Ist x Null, so ist der Nenner positiv.
D.h. es sind alle reellen Zahlen zulässig. \({D_A} = \mathbb{R}\)
→ Definitionsmenge A
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Term 1: Definitionsmenge C
- Term 2: Definitionsmenge F
- Term 3: Definitionsmenge D
- Term 4: Definitionsmenge A
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn alle vier Buchstaben richtig zugeordnet sind.