Aufgabe 4513

1. Teilaufgabe:

Der Endwert einer Rente ist die Summe aller Rentenzahlungen, welche auf den Endzeitpunkt aufgezinst werden. Die Formel für den Endwert lautet:
\({K_n} = {K_0} \cdot {q^n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + i} \right)^n}\)

Laut Angabe sollen wir zuerst 2 Jahre lang mit i₀ aufzinsen und anschließend 3 Jahre lang mit i₁ aufzinsen:
\(E = B \cdot {\left( {1 + {i_0}} \right)^2} \cdot {\left( {1 + {i_1}} \right)^3}\)

2. Teilaufgabe:

Endwertnach 5 Jahren beim Zinssatz i:
\(E = B \cdot {\left( {1 + i} \right)^5}\)

Wir setzen die Gleichungen der beiden Verzinsungsvarianten über 5 Jahre gleich und machen i explizit:
\(\begin{array}{l} {i_0} = 3\% \buildrel \wedge \over = 0,03\\ {i_1} = 1\% \buildrel \wedge \over = 0,01\\ \\ E = B \cdot {\left( {1 + 0,03} \right)^2} \cdot {\left( {1 + 0,01} \right)^3} = B \cdot {\left( {1 + i} \right)^5}\\ {1,03^2} \cdot {1,01^3} = {\left( {1 + i} \right)^5}\\ \sqrt[5]{{{{1,03}^2} \cdot {{1,01}^3}}} = 1 + i\\ i = \sqrt[5]{{{{1,03}^2} \cdot {{1,01}^3}}} - 1 \buildrel \wedge \over = 0,017953 \buildrel \wedge \over = 1,7953\% \end{array}\)

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