Aufgabe 4510
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Scheiben für PKWs - Aufgabe B_527
Ein Betrieb stellt Frontscheiben und Heckscheiben für PKWs her.
Teil b
Die variablen Kosten bei der Produktion von Heckscheiben eines bestimmten Typs können durch die Funktion Kv beschrieben werden.
\({K_v}\left( x \right) = 0,0029 \cdot {x^3} - 0,45 \cdot {x^2} + 24 \cdot x\)
x | produzierte Menge in ME |
Kv(x) |
variable Kosten bei der produzierten Menge x in GE |
Die Fixkosten betragen 450 GE.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze.
[0 / 1 P.]
In der nebenstehenden Abbildung sind
- der Graph der Durchschnittskostenfunktion K,
- der Graph der Grenzkostenfunktion K′ und
- der Graph der variablen Durchschnittskostenfunktion Kv
dargestellt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie diejenige Größe an, die nicht aus der obigen Abbildung abgelesen werden kann.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
- Größe 1: Kostenkehre
- Größe 2: Fixkosten
- Größe 3: Betriebsminimum
- Größe 4: Betriebsoptimum
- Größe 5kurzfristige Preisuntergrenze
Die Preisfunktion der Nachfrage pN für Heckscheiben dieses Typs ist gegeben durch:
\({p_N}\left( x \right) = - 0,16 \cdot x + 30\)
x | nachgefragte Menge in ME |
pN(x) |
Preis bei der nachgefragten Menge x in GE/ME |
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie den Höchstpreis an.
[0 / 1 P.]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Cournot’schen Preis.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir stellen die Kostenfunktion auf und erhalten nach Division durch x die Stückkostenfunktion. Danach leiten wir die Stückkostenfunktion ab und bestimmen die Nullstelle von deren 1. Ableitung, da dort das Minimum der Stückkostenfunktion – das Betriebsoptimum bzw. die langfristige Preisuntergrenze - liegt.
Verkauft ein Unternehmen zu einem Preis, welcher den Stückkosten im Betriebsoptimum entspricht, so deckt es seine Fixkosten und seine variablen Kosten. Wird ein höherer Preis als die langfristige Preisuntergrenze erwirtschaftet, so macht das Unternehmen Gewinn.
\(\begin{array}{l} K\left( x \right) = {K_v}(x) + {K_f}\\ K\left( x \right) = \left( {0,0029 \cdot {x^3} - 0,45 \cdot {x^2} + 24 \cdot x} \right) + 450\\ \\ \overline K \left( x \right) = \dfrac{{K\left[ x \right]}}{x} = 0,0029 \cdot {x^2} - 0,45 \cdot x + 24 + \dfrac{{450}}{x} \end{array}\)
Nun bestimmen wir die NST der Stückkostenfunktion
\(\begin{array}{l} \overline {K'} \left( x \right) = 0,0058 \cdot x - 0,45 - \frac{{450}}{{{x^2}}} = 0\\ x = 87,6787 \end{array}\)
Die Stückzahl im Betriebsoptimum beträgt also 87,68 ME
Mit Hilfe dieser Stückzahl bestimmen wir die langfristige Preisuntergrenze wie folgt:
\(\begin{array}{l} \overline K (x = 87,6787) = \\ = 0,0029 \cdot {87,6787^2} - 0,45 \cdot 87,6787 + 24 + \dfrac{{450}}{{87,6787}} = 11,9709 \end{array}\)
→ Die langfristige Preisuntergrenze beträgt rund 11,97 GE/ME.
Hier die beiden Zwischenrechnungen mit Wolfram Alpha:
0.0058x-0.45-(450)/(x^(2))=0
0.0029*87.6787^(2)-0.45*87.6787+24+(450)/(87.6787)=
2. Teilaufgabe:
Zur besseren Veranschaulichung beschriften wir die gegebenen Funktionen etwas ausführlicher :
\(\eqalign{ & {\text{Kostenfunktion}} \cr & K\left( x \right) = {K_v}\left( x \right) + {K_F}\left( x \right) = \left[ {0,0029 \cdot {x^3} - 0,45 \cdot {x^2} + 24 \cdot x} \right] + \left[ {450} \right] \cr & \cr & {\text{Grenzkostenfunktion}} \cr & K'\left( x \right) = 0,0087{x^2} - 0,9x + 24 \cr & \cr & {\text{Durchschnittskostenfunktion}} \cr & \overline K (x) = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x} + \dfrac{{{K_F}(x)}}{x} = \left[ {0,0029{x^2} - 0,45 \cdot x + 24} \right] + \left[ {\dfrac{{450}}{x}} \right] \cr & \cr & {\text{variable Durchschnittkostenfunktion}} \cr & \overline {{K_v}} = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x} = 0,0029x - 0,45x + 24 \cr} \)
- Kostenkehre: Tiefpunkt der Grenzkosten K‘. Die Kostenkehre liegt an der Stelle x=50 ME
- Fixkosten: Die Fixkosten kann man nicht aus der Abbildung herauslesen. Wir kennen den Wert zwar mit 450 GE, aber nur aus der Angabe zur 1. Teilaufgabe → Ankreuzen
- Betriebsminimum: Das Betriebsminimum liegt dort wo die variablen Durchschnittskosten ihr Minimum haben. Das ist an der Stelle x=77 ME
- Betriebsoptimum: Das Betriebsoptimum liegt dort, wo die Durchschnittskostenfunktion ihr Minimum hat. Das ist an der Stelle x=88 ME
- Kurzfristige Preisuntergrenze: Die kurzfristige Preisuntergrenze liegt dort wo die variablen Durchschnittskosten ihr Minimum haben. Das ist an der Stelle y=7 GE
Vollständigkeitshalber:
- Langfristige Preisuntergrenze: Die langfristige Preisuntergrenze liegt dort, wo die Durchschnittskostenfunktion ihr Minimum hat. Das ist an der Stelle x=12 GE
Somit ergibt sich folgendes Gesamtbild:
Somit ergibt sich folgendes Gesamtbild unter Einbeziehung der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion. Es sind zudem die grafischen Konstruktionsmöglichkeiten durch Tangenten und WP angeführt
3. Teilaufgabe:
Der Höchstpreis ist der Preis, zu dem niemand mehr bereit ist, auch nur 1 ME zu kaufen. Wir erhalten den Höchstpreis somit an der Stelle x=0
\(\eqalign{ & {p_N}\left( x \right) = - 0,16 \cdot x + 30 \cr & {p_N}(x = 0) = 30 \cr} \)
→ Der Höchstpreis beträgt 30 GE
4. Teilaufgabe:
Der Cournot’sche Punkt ist jener Punkt auf der Gewinn-Funktion bei dem sich das Gewinnmaximum befindet. Die Gewinnfunktion ergibt sich als die Differenz von der Erlös- und der Kostenfunktion
- x-Koordinate: Jene Produktionsmenge, bei der das Gewinnmaximum liegt
- y-Koordinate: Preis bei gewinnmaximaler Produktionsmenge
Zuerst ermitteln wir die Gewinnfunktion.
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)
Die dafür erforderliche Erlösfunktion ergibt sich aus der Preisfunktion der Nachfrage multipliziert mit x:
\(\eqalign{ & G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right) \cr & G\left( x \right) = {p_N}\left( x \right) \cdot x - K\left( x \right) = {p_N}\left( x \right) - {K_v}(x) - {K_F} \cr & G(x) = \left( { - 0,16 \cdot x + 30} \right) \cdot x - \left[ {0,0029 \cdot {x^3} - 0,45 \cdot {x^2} + 24 \cdot x + 450} \right] \cr & G(x) = - 0,0029 \cdot {x^3} + 0,29 \cdot {x^2} + 6 \cdot x - 450 \cr} \)
Damit wir das Gewinnmaximum bestimmen können leiten wir die Gewinnfunktion einmal ab und setzen die Ableitung Null:
\(\eqalign{ & G(x) = - 0,0029 \cdot {x^3} + 0,29 \cdot {x^2} + 6 \cdot x - 450 \cr & \cr & G'\left( x \right) = - 3 \cdot 0,0029 \cdot {x^2} + 2 \cdot 0,29 \cdot x + 6 \cr & G'\left( x \right) = - 0,0087 \cdot {x^2} + 0,58 \cdot x + 6 \cr & \cr & - 0,0087 \cdot {x^2} + 0,58 \cdot x + 6 = 0 \cr & \left( {{x_1} = - 9,1021} \right) \cr & {x_2} = 75,7688 \cr} \)
Die Produktionsmenge, bei der das Gewinnmaximum liegt, beträgt 76 Stück.
Diese Menge setzen wir in die Preisfunktion der Nachfrage ein um den Cournot'schen Preis zu erhalten:
\({p_N}(x = 75,7688) = - 0,16 \cdot 75,7677 + 30 = 17,877\)
→ Der Cournot’sche Preis beträgt 17,88 GE
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die langfristige Preisuntergrenze beträgt rund 11,97 GE/ME.
2. Teilaufgabe
Die Fixkosten sind nicht aus der Abbildung ablesbar und daher anzukreuzen
3. Teilaufgabe
Der Höchstpreis beträgt 30 GE
4. Teilaufgabe
Der Cournot’sche Preis beträgt 17,88 GE
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der langfristigen Preisuntergrenze.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Höchstpreises.
4. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Cournot’schen Preises.