Aufgabe 4497
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Martinigläser - Aufgabe B_523
In der nebenstehenden Abbildung ist ein Martiniglas dargestellt. Der obere Teil des Martiniglases kann modellhaft als Drehkegel mit dem Durchmesser D und der Höhe H betrachtet werden.
Teil a
In der unten stehenden nicht maßstabgetreuen Abbildung ist ein Modell dieses Martiniglases dargestellt. Der Drehkegel entsteht durch Rotation des Graphen der linearen Funktion f um die x-Achse.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Tragen Sie unter Verwendung von H und D die fehlenden Ausdrücke in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie mithilfe von H und D eine Gleichung der Funktion f auf.
f(x) =
[0 / 1 P.]
Vx ist das Volumen des Drehkegels, der bei Rotation des Graphen der Funktion f um die x-Achse entsteht.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von Vx auf.
Vx =
[0 / 1 P.]
Der obere Teil eines bestimmten Martiniglases wird durch Rotation des Graphen der Funktion g im Intervall [0; 75] um die x-Achse modelliert.
\(g\left( x \right) = \dfrac{{13}}{{17}} \cdot x\)
x, g(x) |
Koordinaten in mm |
Dieses Martiniglas wird mit einer Flüssigkeitsmenge von 2 dl befüllt.
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die zugehörige Füllhöhe (gemessen von der Spitze des Drehkegels).
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
D ist der Durchmesser vom oberen Teil des Glases, hier sind aber nur der halbe Durchmesser und die ganze Höhe gefragt.
2. Teilaufgabe:
(x) muss offensichtlich eine lineare Funktion vom Typ \(y = k \cdot x + d\) sein, wobei d=0 gilt. Für die Steigung k gilt:
\(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\dfrac{D}{2}}}{H} = \dfrac{D}{{2 \cdot H}}\)
Somit:
\(f(x) = k \cdot x = \dfrac{D}{{2 \cdot H}} \cdot x\)
3. Teilaufgabe:
Es sei y=f(x) eine über dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Funktion um die x-Achse entsteht, Vx. Ein Blick in die Formelsammlung liefert:
\({V_x} = \pi \cdot {\int\limits_{x = a}^b {\left[ {f\left( x \right)} \right]} ^2}\,\,dx\)
Wir setzen ein und berechnen das bestimmte Integral:
\(\begin{array}{l} f(x) = k \cdot x = \dfrac{D}{{2 \cdot H}} \cdot x\\ {V_x} = \pi \cdot {\int\limits_{x = a}^b {\left[ {f\left( x \right)} \right]} ^2}\,\,dx\\ \\ {V_x} = \pi \cdot {\int\limits_0^H {\left( {\dfrac{D}{{2 \cdot H}} \cdot x} \right)} ^2}\,\,dx = \\ = \pi \cdot \dfrac{{{D^2}}}{{4 \cdot {H^2}}} \cdot \int\limits_0^H {{x^2}} \,\,dx = \\ = \pi \cdot \dfrac{{{D^2}}}{{4 \cdot {H^2}}}.\left[ {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^H = \\ = \pi \cdot \dfrac{{{D^2}}}{{4 \cdot {H^2}}} \cdot \left( {\dfrac{{{H^3}}}{3} - 0} \right) = \dfrac{{\pi \cdot {D^2} \cdot H}}{{12}} \end{array}\)
4. Teilaufgabe:
Da die Füllhöhe in mm gemessen wird, müssen wir die Flüssigkeitsmenge von dl in mm³ umrechnen.
\(\eqalign{ & 2{\text{dl}} = 0,2{\text{l}} \cr & {\text{1l}} \buildrel \wedge \over = 1{\text{d}}{{\text{m}}^{\text{3}}} = 100 \cdot 100 \cdot 100{\text{m}}{{\text{m}}^3} = 1.000.000{\text{m}}{{\text{m}}^3} \cr & 0,2{\text{l = }}\dfrac{{1{\text{l}}}}{5} \buildrel \wedge \over = \dfrac{{1.000.000}}{5}{\text{m}}{{\text{m}}^{\text{3}}} = 200.000{\text{m}}{{\text{m}}^{\text{3}}} \cr} \)
Dann bilden wir das Volumsintegral zwischen der Untergrenze Füllhöhe =0 und der realen Füllhöhe = b. Für die Berechnung von Vx kommt wieder die Formel aus der Formelsammlung aus der 3. Teilaufgabe zur Anwendung. Da das Integral der Funktion g(x) extrem einfach zu bilden ist und die Untergrenze zudem Null ist, verzichten wir auf den möglichen Technologieeinsatz.
\(\eqalign{ & g(x) = \dfrac{{13}}{{17}} \cdot x \cr & {V_x} = \pi \cdot {\int\limits_0^b {\left[ {g\left( x \right)} \right]} ^2}\,\,dx = 200.000 \cr & \cr & {V_x} = \pi \cdot \dfrac{{{{13}^2}}}{{{{17}^2}}}\int\limits_0^b {{x^2}} \,\,dx = 200.000 \cr & {V_x} = \pi \cdot \dfrac{{169}}{{289}} \cdot \left[ {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^b = \dfrac{{\pi \cdot 169 \cdot {b^3}}}{{289 \cdot 3}} = 200.000 \cr} \)
Nun machen wir noch b explizit:
\(\eqalign{ & \dfrac{{\pi \cdot 169 \cdot {b^3}}}{{289 \cdot 3}} = 200.000 \cr & \cr & b = \root 3 \of {\dfrac{{200000*289*3}}{{169*\pi }}} \approx 68,866 \cr} \)
→ Die Füllhöhe beträgt rund 69 mm.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
\(f(x) = k \cdot x = \dfrac{D}{{2 \cdot H}} \cdot x\)
3. Teilaufgabe
\({V_x} = \dfrac{{\pi \cdot {D^2} \cdot H}}{{12}}\)
4. Teilaufgabe
Die Füllhöhe beträgt rund 69 mm.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Ausdrücke.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Funktion f.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
4. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Füllhöhe.