Aufgabe 4463
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Reisebus - Aufgabe B_516
Ein Reiseunternehmen plant, einen neuen Reisebus anzuschaffen.
Teil c
Für den Ankauf des Reisebusses nimmt das Reiseunternehmen einen Kredit zu einem Zinssatz von 3 % p. a. auf. Die Rückzahlung des Kredits erfolgt durch gleichbleibende jährliche Annuitäten. Einige Werte des Tilgungsplans sind in der nachstehenden Tabelle angegeben.
Jahr | Zinsanteil | Tilgungsanteil | Annuität | Restschuld |
2 | ||||
3 | € 1.059,93 | € 2.440,07 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie in der obigen Tabelle die Höhe der Annuität für das Jahr 3 ein.
[0 / 1 P.]
Bei der weiteren Tilgung des Kredits verbleibt ein Restbetrag, der ein Jahr nach der letzten Vollrate bezahlt wird.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Höhe dieses Restbetrags.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Annuität setzt sich zusammen aus einem Anteil zur Kapitaltilgung (Abbau der Schuld) und einer Zinszahlung, die für die Rückzahlung der Zinsen anfällt. Somit müssen wir den Tilgungsanteil und den Zinsanteil aus obiger Tabelle addieren:
\(2.440,07 + 1.059,93 = 3500\)
Jahr | Zinsanteil | Tilgungsanteil | Annuität | Restschuld |
2 | ||||
3 | € 1.059,93 | € 2.440,07 | € 3.500,00 |
Die Annuität beträgt 3.500 €.
2. Teilaufgabe:
Die Berechnung erfolgt am einfachsten mit Excel. Rechnet man mit einer fixen Annuität von 3.500 €, dann wird die Restschuld im Jahr 15 negativ. Der Restbetrag ist Rückzahlung im Jahr 15. Der Wert in der Spalte Annuität für das 15. Jahr errechnet sich aus der Restschuld im Vorjahr plus den Zinsen im Jahr 15. Dadurch wird die Restschuld im Jahr 15 zu Null.
→ Die Restschuld beträgt 722,50 €.
Anmerkung: Man sieht sehr schön, dass am Anfang der Rückzahlungsperiode der Zinsanteil ca 30% der Annuität ausmacht, während er im Jahr 14 auf 15% sinkt. Entsprechend nimmt der Tilgungsanteil immer mehr zu. Dh am Anfang der Rückzahlungsperiode geht viel Geld für Zinsen auf, dadurch wird die Schuld nur langsam getilgt. Später werden die Zinsen zunehmend sehr gering und die Schuld wird zügig abgebaut.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Die Annuität beträgt 3.500 €.
2. Teilaufgabe:
Die Restschuld beträgt 722,50 €.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Höhe der Annuität.
2. Teilaufgabe:
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Höhe des Restbetrags.