Aufgabe 4458
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Öffentlicher Verkehr in Wien - Aufgabe B_515
Teil b
Die Anzahl der pro Jahr verkauften Jahreskarten für öffentliche Verkehrsmittel in Wien lässt sich für den Zeitraum von 2011 bis 2016 näherungsweise durch die Funktion N beschreiben.
\(N\left( t \right) = 815000 - 450000 \cdot {a^t}\)
t |
Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 2011 |
N(t) |
Anzahl der pro Jahr verkauften Jahreskarten zur Zeit t |
a |
Parameter mit 0 < a < 1 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erklären Sie, warum der Ordinatenabschnitt (Achsenabschnitt auf der vertikalen Achse) des Graphen der Funktion N nicht vom Parameter a abhängt.
[0 / 1 P.]
Im Jahr 2015 wurden 700 000 Jahreskarten verkauft.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Parameter a.
[0 / 1 P.]
Es wird davon ausgegangen, dass die Funktion N auch die zukünftige Entwicklung der Anzahl der pro Jahr verkauften Jahreskarten richtig beschreibt.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie die Zahl 815 000 in der obigen Gleichung der Funktion N im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Der Ordinatenabschnitt ist der Funktionswert von N(t=0), also an der Stelle t=0. Weil unabhängig von a immer a0 = 1 gilt, ist der Ordinatenabschnitt unabhängig von a.
2. Teilaufgabe:
Wir setzen 700 000 Jahreskarten und t=4 in die Gleichung ein und machen a explizit:
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = 815\,000 - 450\,000 \cdot {a^t} \cr & 700\,000 = 815\,000 - 450\,000 \cdot {a^4}\,\,\,\,\,\left| { - 450\,000 \cdot a\,\,\,\,\,\left| { - 700\,000} \right.} \right| \cr & 450\,000 \cdot {a^4} = 115\,000\,\,\,\,\,\left| {:450\,000} \right. \cr & {a^4} = \frac{{115\,000}}{{450\,000}} \cr & a = \root 4 \of {\dfrac{{115\,000}}{{450\,000}}} \approx 0,7111 \cr} \)
→ Der Parameter a beträgt ca. 0,7111.
3. Teilaufgabe:
Die Funktion N lautet gemäß der 2. Teilaufgabe:
\(N\left( t \right) = 815\,000 - 450\,000 \cdot {0,7111^t}\)
Da 0,7111 kleiner als 1 ist, konvergiert der Wert 0,7111t für steigende t gegen 0, womit der Subtrahend gegen Null konvergiert. Für
\(t \to \infty :N\left( t \right) = 815\,000 - 0\)
Es handelt sich um ein sogenanntes Sättigungsmodell oder beschränktes Wachstumsmodell. Der Sättigungswert der Anzahl der pro Jahr verkauften Jahreskarten beträgt 815 000.
oder:
Gemäß der Funktion N nähert sich die Anzahl der pro Jahr verkauften Jahreskarten für t → ∞ der Zahl 815 000 beliebig nahe an.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Weil unabhängig von a immer a0 = 1 gilt, ist der Ordinatenabschnitt unabhängig von a.
2. Teilaufgabe
Der Parameter a beträgt ca. 0,7111.
3. Teilaufgabe
Der Sättigungswert der Anzahl der pro Jahr verkauften Jahreskarten beträgt 815 000.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Erklären.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Parameters a.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.