Aufgabe 4436
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schlosspark - Aufgabe B_507
Teil c
Im Schlosspark gibt es ein Labyrinth aus Hecken. Der Weg durch das Labyrinth wird durch Aneinanderreihen der Vektoren
\(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c ,\,\,...\,\,,\overrightarrow h \)
(in alphabetischer Reihenfolge) beschrieben. Dabei beginnt jeder Vektor an der Spitze des vorherigen Vektors. Es gilt:
\(\overrightarrow e = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 3 \end{array}} \right);\,\,\,\overrightarrow f = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2} \\ 0 \end{array}} \right);\,\,\,\overrightarrow g = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 2 \end{array}} \right);\,\,\,\overrightarrow h = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 0 \end{array}} \right)\)
In der nachstehenden Abbildung ist die quadratische Grundfläche des Labyrinths dargestellt. Der Startpunkt A des Weges durch das Labyrinth, die ersten vier Vektoren und der Punkt P sind bereits eingezeichnet.
Bild
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
\(\begin{gathered} {b_x} = \boxed{} \hfill \\ {b_y} = \boxed{} \hfill \\ \end{gathered} \)
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Länge des Weges durch das Labyrinth vom Startpunkt A zum Punkt P.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Vervollständigen Sie ausgehend vom Punkt P den Weg durch das Labyrinth durch Einzeichnen der Vektoren \(\overrightarrow e ,\,\,\,\overrightarrow f ,\,\,\,\overrightarrow g {\text{ und }}\overrightarrow h \)
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die auf die gegebenen Vektoren nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
- Aussage 1: Die Vektoren a und c sind Gegenvektoren.
- Aussage 2: Die Vektoren f und g haben den gleichen Betrag.
- Aussage 3: Die Vektoren f und h sind parallel.
- Aussage 4: Die Vektoren d und e haben den gleichen Betrag.
- Aussage 5: Die Vektoren d und e stehen normal aufeinander.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir sollen die x- und y-Koordinate vom Vektor b bestimmen.
1. Variante: Ablesen aus der Grafik:
Bild
2. Variante: Verbindungsvektor zwischen Anfangs- und Endpunkt bilden:
\(\begin{array}{l} {B_A} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 5 \end{array}} \right)\\ {B_E} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 8 \end{array}} \right)\\ b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}} \end{array}} \right) = {B_E} - {B_A} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - 2}\\ {8 - 5} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right) \end{array}\)
→ bx=2; by=3;
2. Teilaufgabe:
\(s = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d \)
Die Vektoren a und c verlaufen parallel zur y-Achse, wir können ihren Betrag bzw. Länge daher direkt ablesen:
\(\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow a } \right| = 5\\ \left| {\overrightarrow c } \right| = 5 \end{array}\)
Der Vektor d ist parallel zur x-Achse, wir können seinen Betrag daher direkt ablesen:
\(\left| {\overrightarrow d } \right| = 3\)
Für den Betrag vom Vektor b müssen wir auf die Formel für den Betrag eines Vektors zurückgreifen:
\(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2} \)
Somit:
\(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \)
Die Länge des Weges durch das Labyrinth vom Startpunkt A zum Punkt P ergibt sich somit zu:
\(\begin{array}{l} s = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d = \\ = 5 + \sqrt {13} + 5 + 3 \approx 16,606 \end{array}\)
→Die Länge des Weges durch das Labyrinth vom Startpunkt A zum Punkt P beträgt rund 16,6 m.
3. Teilaufgabe:
Vervollständigen Sie ausgehend vom Punkt P den Weg durch das Labyrinth durch Einzeichnen der Vektoren \(\overrightarrow e ,\,\,\,\overrightarrow f ,\,\,\,\overrightarrow g {\rm{ und }}\overrightarrow h \), mit
\(\overrightarrow e = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 3 \end{array}} \right);\,\,\,\overrightarrow f = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 0 \end{array}} \right);\,\,\,\overrightarrow g = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2 \end{array}} \right);\,\,\,\overrightarrow h = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 0 \end{array}} \right)\)
Bild
4. Teilaufgabe:
- Aussage 1: Richtig, weil man den Gegenvektor erhält, indem man den Ausgangsvektor um 180° dreht.
- Aussage 2: Falsch, weil \(\left| {\overrightarrow f } \right| = 2 < \left| {\overrightarrow g } \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} \) → ankreuzen
- Aussage 3: Richtig, weil beide Vektoren nur eine x- aber keine y-Komponente haben
- Aussage 4: Richtig, weil \(\left| {\overrightarrow d } \right| = \sqrt {{3^2} + {0^2}} = \left| {\overrightarrow e } \right| = \sqrt {{0^2} + {3^2}} = 3\)
- Aussage 5: Richtig, weil die beiden Vektoren einen rechten Winkel einschließen
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
bx=2; by=3;
2. Teilaufgabe
Die Länge des Weges durch das Labyrinth vom Startpunkt A zum Punkt P beträgt rund 16,6 m.
3. Teilaufgabe
Bild
4. Teilaufgabe
- 1. Aussage: Richtig
- 2. Aussage: Falsch
- 3. Aussage: Richtig
- 4. Aussage: Richtig
- 5. Aussage: Richtig
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Zahlen.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Lange des Weges.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Vervollständigen des Weges.
4. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.