Aufgabe 4420

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483

Ein Unternehmen produziert den Fruchtsaft Mangomix.

Teil c

Der Erlös beim Verkauf des Fruchtsafts Mangomix kann durch eine quadratische Funktion E beschrieben werden:

\(E\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x{\text{ mit }}x \geqslant 0\)

x
  • Absatzmenge in hl
E(x)
  • Erlös bei der Absatzmenge x in €

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht.

[Lückentext] [1 Punkt]

Der Koeffizient a muss ____1____ sein, weil der Graph von E ____2____ .

 

  • Satzteil 1.1: positiv
  • Satzteil 1.2: negativ
  • Satzteil 1.3: gleich null

 

  • Satzteil 2.1: durch den Ursprung geht
  • Satzteil 2.2: keinen Wendepunkt hat
  • Satzteil 2.3: nach unten geöffnet ist

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Weisen Sie nach, dass der maximale Erlös bei der Absatzmenge

\({x_0} = - \dfrac{b}{{2 \cdot a}}\)

erzielt wird.
[1 Punkt]

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Alle 3 Optionen für die 2. Textlücke sind möglich: Ist die abgesetzte Menge null, dann ist auch der Erlös null. Dh der Graph der Erlösfunktion muss durch den Ursprung gehen und er muss eine 2. Nullstelle auf der positiven x-Achse haben. Der Graph einer quadratischen Erlösfunktion ist eine Parabel, und hat daher keine Wendestelle.

 

Betrachten wir die 1. Textlücke:

  • Option 3: Können wir ausschließen, denn wenn a gleich null ist, dann wäre die Ertragsfunktion nicht quadratisch, sondern linear.
  • Option 1: Können wir ausschließen, denn wenn a positiv ist, so wäre der Graph der Erlösfunktion eine nach oben offene Parabel, die zwei Nullstellen hat, deren Lage durch den Parameter b vom linearen Term bestimmt wird. Zwischen den beiden Nullstellen wäre die Erlösfunktion aber negativ. Erlösfunktionen sind aber zwischen den beiden Nullstellen positiv.
  • Option 2: Wenn a also negativ sein muss, so müssen wir prüfen, welcher 2. Satzteil ausschließlich bei negativem a gilt?
    • Nicht 2.1, denn auch bei positivem a verläuft der Graph durch den Ursprung
    • Nicht 2.2, denn jede Parabel hat grundsätzlich keinen Wendepunkt
    • Sehr wohl 2.3, denn nur bei negativem a ist die Parabel nach unten geöffnet, so wie es bei Ertragsfunktionen sein soll.

 

→ Der Koeffizient a muss negativ sein, weil der Graph von E nach unten geöffnet ist.

2. Teilaufgabe:

Das Maximum einer Funktion liegt grundsätzlich dort wo
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\)

Wir setzen die 1. Ableitung gleich Null und bestimmen x0:
\(\eqalign{ & E\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x \cr & E'\left( x \right) = 2 \cdot a \cdot x + b \cr & E''\left( x \right) = 2 \cdot a \cr & \cr & 2 \cdot a \cdot {x_0} + b = 0 \cr & {x_0} = - \frac{b}{{2a}} \cr} \)

 

Anmerkung: Es ist auch die Bedingung, dass f‘‘(x0)<0 ist erfüllt, dann da a negativ sein muss (siehe 1. Teilaufgabe) ist auch 2 mal a negativ.

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Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe
Der Koeffizient a muss negativ sein, weil der Graph von E nach unten geöffnet ist.

2. Teilaufgabe
Wir setzen die 1. Ableitung gleich Null und bestimmen x0

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe
1 × C: für das richtige Ergänzen der beiden Textlücken

2. Teilaufgabe
1 × D: für das richtige Nachweisen