Aufgabe 4418

1. Teilaufgabe:

Man erhält die Grenzkostenfunktion K' durch einmaliges Ableiten der Gesamtkostenfunktion K(x).

Variante 1:
\(K'\left( {25} \right) = 30\)

Variante 2:
\(\eqalign{ & K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + 105 \cdot x + 1215 \cr & \cr & K'\left( x \right) = a \cdot 3 \cdot {x^2} + b \cdot 2 \cdot x + 105 \cr & K'\left( {x = 25} \right) = a \cdot 3 \cdot {25^2} + b \cdot 2 \cdot 25 + 105 = 30 \cr & 1875 \cdot a + 50 \cdot b + 75 = 0 \cr} \)

2. Teilaufgabe:

K″(25) = 0: Bei einer Produktionsmenge von 25 hl liegt die Nullstelle von der 2. Ableitung K‘‘(x). Aus der NEW-Regel wissen wir, dass dort wo f‘‘ eine Nullstelle hat, hat f eine Wendestelle.

Die Wendestelle einer ertragsgesetzliche Kostenfunktion K nennt man Kostenkehre.

→ Bei einer Produktionsmenge von 25 hl liegt die Kostenkehre.

oder:

→ Bei einer Produktionsmenge von 25 hl geht der Kostenverlauf von degressiv auf progressiv über.

3. Teilaufgabe:

Für die Berechnung von 2 Unbekannten benötigen wir 2 unabhängige Bestimmungsgleichungen. Für die 1. und 2. Ableitung von K kennen wir jeweils den Funktionswert an der Stelle x=25, somit:

Man kann das Gleichungssystem sehr einfach ohne CAS lösen:
\(\eqalign{ & K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + 105 \cdot x + 1215 \cr & K'\left( x \right) = a \cdot 3 \cdot {x^2} + b \cdot 2 \cdot x + 105 \cr & K''\left( x \right) = 6 \cdot a \cdot x + 2 \cdot b \cr & \cr & K'\left( {x = 25} \right) = 1875 \cdot a + 50 \cdot b + 105 = 30 \cr & K''\left( {x = 25} \right) = 6 \cdot a \cdot 25 + 2 \cdot b = 0 \cr & \cr & 1875 \cdot a + 50 \cdot b + 75 = 0 \cr & 150 \cdot a + 2 \cdot b = 0 \to a = - \dfrac{{2 \cdot b}}{{150}} = - \dfrac{b}{{75}} \cr & \cr & - \dfrac{{1875 \cdot b}}{{75}} + 50 \cdot b = - 75 \cr & - 25 \cdot b + 50 \cdot b = 25 \cdot b = - 75 \to b = - 3 \cr & a = - \dfrac{{ - 7}}{{75}} = 0,04 \cr} \)

→ Die gesuchten Parameter lauten: a=0,04; b=-3

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