Aufgabe 4414

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sozialausgaben - Aufgabe B_481

Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebenslagen zur Verfügung stellt.

Teil a

Die Sozialausgaben in Österreich für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1990 bis 2015 sind in der nachstehenden Tabelle angegeben (Werte gerundet).

Jahr Sozialausgaben in Milliarden €
1990 35,5
1995 51,0
2000 59,8
2005 71,2
2010 87,8
2015 102,5

Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch Österreichs 2017. Wien: Verlag Österreich 2016, S. 224.

 

Die Sozialausgaben sollen in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren ab 1990 näherungsweise durch eine lineare Funktion beschrieben werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion S1. Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1990.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Interpretieren Sie den Wert der Steigung von S1 im gegebenen Sachzusammenhang.

[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mithilfe von S1 eine Prognose für die Sozialausgaben im Jahr 2020.

[1 Punkt]

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Wir ermitteln die Regressionsgerade mit Hilfe von GeoGebra:

GeoGebra:

  • Tabellen + Grafik + Algebra Ansicht aktivieren
  • Ansicht → Tabelle → die 6 Datensätze gemäß Angabe eingeben
  • alle Datensätze mit Rechteck auswählen → rechte Maustaste → Erzeugen → Liste von Punkten
  • Bearbeiten → Eigenschaften → Grundeinstellungen →
    • x-Achse: 0 .. 30 und y-Achse: 0 .. 120 einstellen
    • allenfalls das Koordinatengitter ausblenden
  • Grafik-Ansicht → 4. Icon → Regressionsgerade
  • Algebra-Ansicht: Die Gleichung der Regressionsgeraden ist wie folgt ablesbar:

 

\({S_1}\left( t \right) \approx 2,6103 \cdot t + 35,3381\)

  • t ... Zeit in Jahren (t = 0 für das Jahr 1990)
  • S1(t) ... Sozialausgaben zur Zeit t in Milliarden Euro
Illustration Stand-up-Paddling - BHS Matura B_480

2. Teilaufgabe:

Wir kennen die Regressionsgerade aus der 1. Teilaufgabe zu:

\({S_1}\left( t \right) \approx 2,6103 \cdot t + 35,3381\)

Gemäß diesem Modell steigen die Sozialausgaben um rund 2,61 Milliarden Euro pro Jahr.

3. Teilaufgabe:

Wir setzen in die Gleichung der Regressionsgerade ein, wobei für das Jahr 2020 gilt: t=30
\({S_1}\left( {t = 30} \right) \approx 2,6103 \cdot 30 + 35,3381 = 113,6471\)

→ Für das Jahr 2020 sind Sozialausgaben in Höhe von rund 113,6 Milliarden Euro zu erwarten.

Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.

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Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe
\({S_1}\left( t \right) \approx 2,6103 \cdot t + 35,3381\)

2. Teilaufgabe
Gemäß diesem Modell steigen die Sozialausgaben um rund 2,61 Milliarden Euro pro Jahr.

3. Teilaufgabe
Für das Jahr 2020 sind Sozialausgaben in Höhe von rund 113,6 Milliarden Euro zu erwarten.

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe
1 × B1: für das richtige Ermitteln der Gleichung der Regressionsfunktion

2. Teilaufgabe
1 × C: für das richtige Interpretieren des Wertes der Steigung der Regressionsfunktion im gegebenen Sachzusammenhang.

3. Teilaufgabe
1 × B2: für das richtige Ermitteln der Prognose