Aufgabe 4407

1. Teilaufgabe:

\(x = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos \left( \alpha \right)} \)

Der gegebene Ausdruck erinnert uns an den Kosinussatz, der wie folgt lautet:
\({c^2} = {a^2} + {b^{}} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left[ {\angle ab} \right]\)
Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln α, β und γ gegenüber liegen.

Wegen a=b muss sich um ein gleichschenkeliges Dreieck handeln, welches durch die beiden Schenkel a aufgespannt wird. Die gesuchte Seite x muss sich also dem von den Schenkeln a aufgespannten Winkel gegenüber befinden und die Basis (3. Seite) vom Dreieck bilden.

Bild

2. Teilaufgabe:

Wir zählen insgesamt 10 nicht-rechtwinkelige flächengleiche Dreiecke. Von jedem Dreieck kennen wir 2 Seiten und mit \(\varphi = \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{72^\circ }}{2} = 36^\circ \) den eingeschlossenen Winkel. Dazu fällt uns die „Trigonometrische Flächenformel“ ein: "Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks errechnet sich aus dem halben Produkt zweier Seiten mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels". Für die insgesamt 10 Dreiecke also:
\(\eqalign{ & 10 \cdot A = 10 \cdot \left( {\dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \varphi } \right) = \cr & = 10 \cdot \left( {\dfrac{{2 \cdot 5}}{2}} \right) \cdot \sin \left( {36^\circ } \right) = \cr & = 50 \cdot \sin \left( {36^\circ } \right) \approx 29,39 \cr} \)

→ Der Flächeninhalt beträgt rund 29,4 cm².

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