Aufgabe 4395

1. Teilaufgabe:

Die Formel für den Richtungsvektor lautet:
\(\overrightarrow r = \overrightarrow {PQ} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x} - {P_x}}\\ {{Q_y} - {P_y}} \end{array}} \right)\)

Wir stellen die beiden Richtungsvektoren auf:
\(\begin{array}{l} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {30}\\ 0 \end{array}} \right);\,\,\,\,{P_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20}\\ 2 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,{P_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {45}\\ {20} \end{array}} \right);\\ \\ \overrightarrow {A{P_1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20 - 30}\\ {2 - 0} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 10}\\ 2 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {A{P_2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {45 - 30}\\ {20 - 0} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {15}\\ {20} \end{array}} \right) \end{array}\)

Der Winkel zwischen zwei Vektoren errechnet sich mit Hilfe vom Skalarprodukt und der Beträge der beiden Vektoren.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {A{P_1}} \circ \overrightarrow {A{P_2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 10}\\ 2 \end{array}} \right) \circ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {15}\\ {20} \end{array}} \right) = \left( { - 10} \right) \cdot 15 + 2 \cdot 20 = - 150 + 40 = - 110\\ \left| {\overrightarrow {A{P_1}} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {104} \\ \left| {\overrightarrow {A{P_2}} } \right| = \sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} = \sqrt {626} = 25\\ \\ \cos \left( \alpha \right) = \left( {\dfrac{{\overrightarrow {A{P_1}} \circ \overrightarrow {A{P_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {A{P_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {A{P_2}} } \right|}}} \right)\\ \alpha = \arccos \left( {\dfrac{{ - 110}}{{\sqrt {104} *25}}} \right) = 115,6^\circ < 120^\circ \end{array}\)

→ Der Winkel ist kleiner als 120°

2. Teilaufgabe:

Um zum Punkt P₃ zu kommen, müssen wir vom Ursprung zum Punkt P₂ gehen, und von P₂ aus ein Drittel der Strecke in Richtung P₁ gehen. Dh wir müssen die Strecke \(\overrightarrow {{P_2}{P_1}} \)  dritteln.

Dazu nimmt man entweder das Lineal zur Hilfe.

Oder man konstruiert die Drittelung geometrisch – in grün eingezeichnet - wie folgt:

• Zeichne vom Punkt P1 eine beliebige Gerade.
• Nimm eine beliebige Strecke in den Zirkel und schlage diese Strecke dreimal auf der Geraden ab. So entstehen 3 Schnittpunkte.
• Verbinde den 3. Schnittpunkt mit dem Punkt P₂, so entsteht eine Gerade.
• Verschiebe diese Gerade parallel in den 2. Schnittpunkt.
• Dort wo diese Parallele die Strecke \(\overrightarrow {{P_2}{P_1}} \) schneidet befindet sich der Punkt P₃.

Bild

3. Teilaufgabe:

Wir wissen, dass der Betrag der Strecke \(\left| {\overrightarrow {AR} } \right| = 40\) Meter beträgt. Somit ergibt sich folgende Bestimmungsgleichung für x_R:
\(\begin{array}{l} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {30}\\ 0 \end{array}} \right);\,\,\,\,R = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_R}}\\ {30} \end{array}} \right);\,\\ \\ \overrightarrow {AR} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_r} - 30}\\ {30 - 0} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_r} - 30}\\ {30} \end{array}} \right)\\ \left| {\overrightarrow {AR} } \right| = 40 = \sqrt {{{\left( {{x_r} - 30} \right)}^2} + {{30}^2}} \end{array}\)

Die Lösung bestimmen wir mit Hilfe von Technologie:

Wolfram Alpha: 40=Sqrt[(x-30)^(2)+30^(2)]

Für die quadratische Gleichung gibt es 2 Lösungen, wir verwenden die Lösung für die \({x_R} < {x_A}\) gilt:
\(\begin{array}{l} {x_{R1}} \approx 3,5425\\ \left( {{x_{R2}} \approx 56,458} \right) \end{array}\)

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