Aufgabe 4358

1. Teilaufgabe:

• x … Cocktails Augustsüße
• y … Cocktails Goldener Oktober, hat die 1,5-fachen Produktionskosten von x

Somit ergibt sich folgende Zielfunktion:
\(Z\left( {x,y} \right) = x + 1,5y\)

2. Teilaufgabe:

Wir formen die Zielfunktion so um, dass sie einer Geradengleichung vom Typ \(y = k \cdot x + d\) entspricht.

\(\eqalign{ & z\left( {x,y} \right) = x + 1,5y \cr & z - x = 1,5y \cr & y = - \dfrac{1}{{1,5}}x + \dfrac{1}{{1,5}}z \cr & k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \dfrac{1}{{1,5}} \overset{\wedge}\to{=} - \dfrac{{20}}{{30}} \cr} \)

Wir haben nun eine vertraute Gleichung für die Zielfunktion, deren k, also die Steigung, beträgt -1/1,5, dh die Gerade fällt. Wir können k bzw. den Bruch auch mit 20 Multiplizieren, damit wir Werte erhalten, die man exakt in das gegebene Koordinatensystem eintragen kann.

Wo sonst das d steht, findet sich allerdings der Ausdruck \(\dfrac{1}{{1,5}} \cdot z = d = 0\) . Indem wir z=0 setzen, wird d=0.
\(\eqalign{ & y = - \dfrac{1}{{1,5}}x + \dfrac{1}{{1,5}}z\,\,\,\,\,\left| {z = 0} \right. \cr & y = - \dfrac{1}{{1,5}} \cdot x \cr} \)

Das ist darum kein Problem, weil d nur festlegt, wo die Gerade mit \(k = - \dfrac{1}{{1,5}} \buildrel \wedge \over = - \dfrac{{20}}{{30}}\)  die y-Achse schneidet. Diesen Wert bestimmen wir aber indem wir die Zielgerade so parallel verschieben, bis sie in einem Punkt den durch die Ungleichungen gegebenen zulässigen Lösungsbereich berührt. Dieser Punkt hat die Koordinaten (50|30).

→ Die minimalen Produktionskosten fallen bei 50 Cocktails Augustsüße und 30 Cocktails Goldener Oktober an.

Bild

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