Aufgabe 4355
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Küchenkauf - Aufgabe B_453
Teil c
Für einen Kredit in Höhe von € 20.000 holt Frau Tomić ein Angebot von einer Bank ein. Die Bank schlagt für die Rückzahlung nachschüssige Jahresraten in Höhe von jeweils € 3.000 bei einem Jahreszinssatz i vor.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Restschuld S nach t Jahren.
S =
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir müssen die aufgenommene Schulde auf t-Jahre aufzinsen und davon ziehen wir den Endwert einer nachschüssigen Jahresrente R nach t Jahren wieder ab, somit bleibt die Restschuld S nach t Jahren übrig:
Der Endwert der Schuld nach n bzw. t Jahren ergibt sich lt. Formelsammlung zu:
\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + i} \right)^n} = {K_0} \cdot {q^n}\)
Der Endwert einer nachschüssigen Jahresrente R nach n bzw. t Jahren ergibt sich lt. Formelsammlung zu:
\({R_n} = {R_0} \cdot \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1}}{i} = {R_0} \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}\)
Somit gilt, wenn wir statt n gemäß Angabe t einsetzen für K0=20.000 € und R0=3.000 €:
\(\eqalign{ & S = 20000 \cdot {\left( {1 + i} \right)^t} - 3000 \cdot \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^t} - 1}}{i} \cr & {\text{bzw}}{\text{. mit }}q = 1 + i \to i = q - 1 \cr & S = 20000 \cdot {q^t} - 3000 \cdot \dfrac{{{q^t} - 1}}{{q - 1}} \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & S = 20000 \cdot {\left( {1 + i} \right)^t} - 3000 \cdot \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^t} - 1}}{i} \cr & {\text{bzw}}{\text{. mit }}q = 1 + i \to i = q - 1 \cr & S = 20000 \cdot {q^t} - 3000 \cdot \dfrac{{{q^t} - 1}}{{q - 1}} \cr} \)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: für das richtige Erstellen der Formel